התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות בינומית
פרמטרים p - ההסתברות ל"הצלחה",n - מספר ההטלות
תומך
פונקציית הצטברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
תוחלת
סטיית תקן
חציון
ערך שכיח
שונות
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
צידוד
גבנוניות

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים. ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי יחיד מסומנת כ-p, וההסתברות ל"כישלון" היא ההסתברות המשלימה (p-‏1).

סימון[עריכת קוד מקור | עריכה]

משתנה מקרי X מפולג בינומית מסומן , וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים () היא:


כאשר "המקדם הבינומי" הוא מספר האפשרויות ל-k הצלחות ב-n ניסויים.

כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים.

לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש אפשרויות סידור).

מכאן , ולכן:

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא ואילו השונות שלו היא .

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר .

הוכחת ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה אחת של k הצלחות במקומות מסוימים היא ,

שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות ) ולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, ).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא , כאשר הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור את k המקומות שבהם יהיו הצלחות מתוך כלל n המקומות. ניתן להוכיח בקומבינטוריקה כי המספר הוא בדיוק המקדם הבינומי .

התפלגות בינומית שלילית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם:

כאשר היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

התפלגויות דומות בהקשר בינומי[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום של מ"מ בינומיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם וכן הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר ונהוג לסמן . למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות .

קירוב נורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במידה ו גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]