פונקציה חד-חד-ערכית ועל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא פונקציה $f:X\rightarrow Y$, מהקבוצה $X$ לקבוצה $Y$, שעבורה לכל $b\in Y$ קיים $a\in X$ יחיד כך ש $f(a)=b$. בתנאי זה, קיומו של a מקודד את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים $a,a'$ שונים שעבורם $f(a)=f(a')$) מקודד את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.

דוגמאות

דוגמה פשוטה לפונקציה חד-חד-ערכית ועל

הפונקציה $y=x^{3}$ היא חד-חד-ערכית ועל בתחום $f:[-1,1]\rightarrow [-1,1]$, משום שכל ערך של y בקטע הממשי $[-1,1]$ מתקבל בדיוק פעם אחת.

תכונות ושימושים

אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות $X$ ו-$Y$ נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.

אם על הקבוצות $X,Y$ מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.

פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
אוסף התמורות על קבוצה $X$ הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.

ראו גם

• תמורה (מתמטיקה)
• פונקציה הפיכה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בוויקישיתוף

• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.