פונקציה חד-חד-ערכית ועל – הבדלי גרסאות
←פונקציה חד-חד-ערכית ועל: קישור פנימי |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{סימון מתמטי}} |
{{סימון מתמטי}} |
||
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, שעבורה לכל <math>b\in Y</math> '''קיים''' <math>a\in X</math> '''יחיד''' כך ש <math>f(a) = b</math>. בתנאי זה, קיומו של a מקודד את העובדה שהפונקציה היא [[פונקציה על]], והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים <math>a,a'</math> שונים שעבורם <math>f(a) = f(a')</math>) מקודד את העובדה שהפונקציה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]]. |
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה חד-חד-ערכית ועל''' היא [[פונקציה]] <math>f:X\rarr Y</math>, מהקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math>, שעבורה לכל <math>b\in Y</math> '''קיים''' <math>a\in X</math> '''יחיד''' כך ש <math>f(a) = b</math>. בתנאי זה, קיומו של a [[מקודד]] את העובדה שהפונקציה היא [[פונקציה על]], והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים <math>a,a'</math> שונים שעבורם <math>f(a) = f(a')</math>) מקודד את העובדה שהפונקציה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]]. |
||
==דוגמאות== |
==דוגמאות== |
||
גרסה מ־17:52, 26 בספטמבר 2020
בערך זה |
במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא פונקציה , מהקבוצה לקבוצה , שעבורה לכל קיים יחיד כך ש . בתנאי זה, קיומו של a מקודד את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם ) מקודד את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.
דוגמאות
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת. הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא וגם ).
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת.
דיאגרמות להמחשת סוגי פונקציות
-
פונקציה חד-חד-ערכית ועל
-
פונקציה חד-חד-ערכית אבל לא על
-
פונקציה על אבל לא חד-חד-ערכית
-
פונקציה לא חד-חד-ערכית ולא על
תכונות ושימושים
אם קיימת פונקציה כזו, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה עוצמה.
פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן יחס השקילות הזה בין קבוצות הוא יחס סימטרי.
אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים. פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- פונקציה חד-חד-ערכית ועל, באתר MathWorld (באנגלית)