מספר שמח

הכינוי "מספר שמח" הוצע^{[דרוש מקור]} לתיאור המספרים שעבורם התהליך של חישוב סכום ריבועי הספרות (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1.

הגדרה

הפונקציה $\ f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ מוגדרת כך ש- $\ f(n)$ הוא סכום ריבועי הספרות של $\ n$. מכיוון שלמספר n יש פחות מ- $\ \log _{10}(n)$ ספרות, מתקיים $\ f(n)<81\log _{10}(n)$, ולכן $\ f(n)<n$ לכל $\ n\geq 184$ (בדיקה ישירה מראה שלמעשה, $\ f(n)<n$ לכל $\ n\geq 100$). מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או בנקודת שבת (היינו, מספר m שעבורו $\ f(m)=m$), או במחזור סופי.

נקודת השבת היחידה היא $\ m=1$, ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים". בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך 8, $\ 4\mapsto 16\mapsto 37\mapsto 58\mapsto 89\mapsto 145\mapsto 42\mapsto 20\mapsto 4$.

דוגמה

7 הוא "מספר שמח", מאחר שהרצף עבורו הוא: $\ 7\mapsto (7^{2}=)49\mapsto (4^{2}+9^{2}=)97\mapsto (9^{2}+7^{2}=)130\mapsto (1^{2}+3^{2}=)10\mapsto (1^{2}+0^{2}=)1$.

קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה. חיפוש ממוחשב עד ל-10²⁰ מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך הצפיפות המדויקת אינה ידועה.

תחילתה של סדרת המספרים השמחים היא:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.