במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.
בהינתן מספר טבעי
ווקטור
, אומרים כי
הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל
מתקיים ש-
.
עבור זוג וקטורים לא-עולים
אומרים כי
ממייר את
(או
גובר על
) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793033a52e8f3106707a2c460bb22593f3845479)
- לכל
מתקיים כי ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8189dfbbd57770a835e3050a2f5632ac0c55d8e6)
ומסמנים
.
עבור
ו-
כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי
או גובר על
אם ורק אם
כאשר
ו-
הם הוקטורים הנוצרים על-ידי סידור
ו-
בסדר לא-עולה בהתאמה.
ניתן להוכיח כי בהינתן
ו-
,
לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית
כך ש-
.[1]
כמו כן,
אם ורק אם ניתן לייצג את
כצירוף קמור של תמורות על איברי
. כלומר, קיימות מטריצות תמורה
ומקדמים
כך ש-
לכל ![{\displaystyle 1\leq i\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83de74da899efbafa01ec98ebf478e9ce5679fc6)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9bd13742541191dc6b1886b9ce62f71455e066)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}P_{i}a=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb26cb7b1999e86ce81724b2d7304161fbf528)
משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-
נמצא בתוך הפאון הרב-ממדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי
.
הוכחת שקילות ההגדרה האחרונה לקודמותיה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.
- בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים
ו-
נאמר כי
גובר על
אם וקטור הערכים העצמיים של
גובר על זה של
.
- אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן שתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים
, מתקיים:
גובר על
אם ורק אם לכל פונקציה קמורה
,
.
- אי-שוויון מוירהד: בהינתן
כך ש-
, לכל
מתקיים:
כאשר
היא החבורה הסימטרית על
.