קבוצה קמורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "קמורה" מפנה לכאן. לערך העוסק בארגון פשע איטלקי, ראו קאמורה.
קבוצה קמורה
קבוצה לא קמורה

במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה. יחד עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה". קבוצה יכולה להיות קמורה או לא-קמורה.

הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות - ובהגדרה שקולה, החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.

לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קמירות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ C קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי (או מרוכב). נאמר כי \ C קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות \ x,y\isin C ולכל \ \lambda\isin \left[0,1\right] מתקיים \ \lambda\cdot x+(1-\lambda)\cdot y\isin C.

קמירות בת מניה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \,K קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי או מרוכב. נאמר ש-\,K היא \, \sigma-קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים (המכונים משקולות) \ \alpha_n \ge 0 \ , \ \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n} = 1 ולכל סדרת נקודות \ \{ x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset K ב-\,K מתקיים: \ \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n x_n} \in K.

סיגמא-קמירות היא מעין קמירות בת מנייה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]