מרחב בלתי קשיר לחלוטין

בטופולוגיה, מרחב בלתי קשיר לחלוטין הוא מרחב טופולוגי שכל תת-קבוצה בו שאינה יחידון אינה קשירה. באופן שקול, זהו מרחב שרכיבי הקשירות שלו הם היחידונים.

לפי ההגדרה כל יחידון הוא הן מרחב קשיר והן מרחב בלתי קשיר לחלוטין. לכן יש המגדירים מרחב בלתי קשיר לחלוטין כבעל שתי נקודות לפחות. במקרה כזה, כל מרחב בלתי קשיר לחלוטין הוא בפרט לא קשיר.

דוגמאות

• כל מרחב דיסקרטי הוא בלתי קשיר לחלוטין.
• כל קבוצה בישר הממשי שאינה מכילה אף קטע לא טריוויאלי היא בלתי-קשירה לחלוטין (כי הקטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). כך למשל קבוצת המספרים הרציונליים, קבוצת המספרים אי-רציונליים וקבוצת קנטור, כולם בלתי קשירים לחלוטין.
• שדה המספרים ה-p-אדיים עם הטופולוגיה הסטנדרטית הוא בלתי קשיר לחלוטין.

תכונות

תת-מרחבים ומרחבי מכפלה של מרחבים בלתי-קשירים לחלוטין גם הם בלתי קשירים לחלוטין. תמונה רציפה של מרחב בלתי-קשיר לחלוטין אינה בהכרח מרחב בלתי-קשיר לחלוטין. למשל כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (ראו כאן). מרחב שיש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות הוא בלתי קשיר לחלוטין (ההפך אינו תמיד נכון). מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא בלתי קשיר לחלוטין אם ורק אם יש לו בסיס של קבוצות פתוחות וקומפקטיות.

מרחבים בלתי-קשורים לחלוטין הם מרחבי T₁.