שדה המספרים ה-p-אדיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה p-אדי אחד לכל מספר ראשוני p, ומקובל לסמן אותו באות . כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-p-אדיים נקראת "שדה p-אדי".

על שדה המספרים ה-p-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא p-אדי לאיזשהו p.

את המספרים ה-p-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל מספר p-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה כאשר N שלם, ו-. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המספרים מהצורה נקראים "שלמים p-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים , שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של ; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר p: . חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה .

טופולוגיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על שדה המספרים ה-p-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית (בהנחה ש-), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי ומטריקה (), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שורשי היחידה ב- הם אלו שסדרם מחלק את p-1. כאשר p אי-זוגי, לשלם רציונלי a שאינו מתחלק ב-p יש שורש p-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו p (כך למשל ); עבור p=2 התנאי הוא שיהיה ל-a שורש מודולו 8, ולדוגמה . הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-p-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות .

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-p-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם p איזוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- , ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, .

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית היא פרו-פתירה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]