שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה $p$-אדי אחד לכל מספר ראשוני $p$, ומקובל לסמן אותו באות $\mathbb {Q} _{p}$. כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-$p$-אדיים נקראת "שדה $p$-אדי".

על שדה המספרים ה-$p$-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא $p$-אדי לאיזשהו $p$.

את המספרים ה-$p$-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות

כל מספר $p$-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה $\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i}$ כאשר $N$ שלם, ו-$a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}$. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברה

המספרים מהצורה $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}$ נקראים "שלמים $p$-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$, שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של $\mathbb {Q} _{p}$; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר $p$: $\mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]$. חוג השלמים ה-$p$-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.

טופולוגיה

על שדה המספרים ה-$p$-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית $\nu (\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i})=-N$ (בהנחה ש-$a_{-N}\neq 0$), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי $|f|=p^{-\nu (f)}$ ומטריקה ($d(x,y)=|x-y|$), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-$p$-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקה

שורשי היחידה ב-$\mathbb {Q} _{p}$ הם אלו שסדרם מחלק את $p-1$. כאשר $p$ אי-זוגי, לשלם רציונלי $a$ שאינו מתחלק ב-$p$ יש שורש $p$-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו $p$ (כך למשל ${\sqrt {-1}},{\sqrt {11}},{\sqrt {19}}\in \mathbb {Q} _{5}$); עבור $p=2$ התנאי הוא שיהיה ל-$a$ שורש מודולו 8, ולדוגמה ${\sqrt {3}}\not \in \mathbb {Q} _{2}$. הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-$p$-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$.

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-$p$-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם $p$ אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- $\mathbb {C} _{p}$, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), $\mathbb {C} _{p}$ איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, $\mathbb {C}$.

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של $\mathbb {Q} _{p}$ היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית ${\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})$ היא פרו-פתירה.

ראו גם

• חוג האדלים
• משפט גרונוולד-ואנג

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא   שדה.   חוג קמוטטיבי עם יחידה.   חוג עם חילוק.   מבנה כללי יותר.   קבוצה סופית   קבוצה בת מניה   קבוצה מעוצמת הרצף   מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על   איזומורפיזם לא קאנוני. העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים $K$). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון           מבנים ארכימדיים   $\mathbb {O}$ $\mathbb {O}$               $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$ מבנים אדליים ו - p-אדיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {C}$ $(t)$$\mathbb {C}$   $[t]$$\mathbb {C}$ $[t]$$\mathbb {C}$   $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$       $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C} _{p}$              מבנים ממאפיין חיובי              ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                                         ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$   $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$     $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$     ${\bar {\mathbb {Q} }}$ ${\bar {\mathbb {Q} }}$             ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$                               ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$     ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$                                                       ${\bar {\mathbb {Z} }}$ ${\bar {\mathbb {Z} }}$                 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$       $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$   $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$                                                               $K$ $K$     $_{K}$$\mathbb {A}$ $_{K}$$\mathbb {A}$   $_{\nu }$$K$$:=$$F$ $_{\nu }$$K$$:=$$F$   $L$ $L$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$                   ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$       ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$ ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$   ${{\mathcal {O}}_{F}}$ ${{\mathcal {O}}_{F}}$   ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$ ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$     $(t)$$\mathbb {F} _{q}$ $(t)$$\mathbb {F} _{q}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                       ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$ ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {R}$ $(t)$$\mathbb {R}$   $[t]$$\mathbb {R}$ $[t]$$\mathbb {R}$   $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$                                                                                                                 $(t)$$\mathbb {Q}$ $(t)$$\mathbb {Q}$   $[t]$$\mathbb {Q}$ $[t]$$\mathbb {Q}$     $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$     $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$ $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$   $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$       $(t)$$\mathbb {F} _{p}$ $(t)$$\mathbb {F} _{p}$     $((t))$$\mathbb {F} _{p}$ $((t))$$\mathbb {F} _{p}$                                                                               $[t]$$\mathbb {Z}$ $[t]$$\mathbb {Z}$     $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$     ${\hat {\mathbb {Z} }}$ ${\hat {\mathbb {Z} }}$   $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$     $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$   $[t]$$\mathbb {F} _{p}$ $[t]$$\mathbb {F} _{p}$     $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$ $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             $[t]$$\mathbb {N}$ $[t]$$\mathbb {N}$     $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$             $\mathbb {Z} |_{n}$ $\mathbb {Z} |_{n}$