משפט ברי-אסן

עיינו גם בפורטל פורטל המתמטיקה הוא שער לכל הנושאים הקשורים במתמטיקה. בין היתר, ניתן למצוא בו קישורים אל תחומי המשנה של ענף המתמטיקה, אל מושגי יסוד בתחום, אל ערכים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה ואל ערכים לגבי מתמטיקאים חשובים.

בתורת ההסתברות, משפט ברי-אסן (Berry-Esseen) נותן הערכה כמותית לקצב ההתכנסות במשפט הגבול המרכזי. המשפט חוסם, בתנאים מסוימים, את המרחק, בנורמת קולמוגורוב-סמירנוף, בין התפלגות ממוצע הדגימות של משתנה מקרי להתפלגות הנורמלית.

המשפט הוכח תחילה על ידי אנדרו ברי (1941) ולאחר מכן על ידי קרל-גוסטב אסן (1942).

ניסוח המשפט

קיים קבוע חיובי C כך שאם $X_{1},\ldots X_{n}$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות שמקיימים $E(X_{1})=0,E(X_{1}^{2})=\sigma ^{2}>0,E(|X_{1}|^{3})=\rho <\infty$ אז אם

$Y_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over n}$

ונסמן את פונקציית הצטברות של ${Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }}$ ב $F_{n}$

ואת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ב $\Phi$

אז לכל $x$ ו $n$

$\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}}$

בנוסף, C חסום על ידי: $0.4748>C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973$

הערה: למשפט קיימת גם גרסה עבור משתנים מקריים שאינם שווי התפלגות.

לקריאה נוספת

• Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". Transactions of the American Mathematical Society. 49 (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053.
• Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". Arkiv för matematik, astronomi och fysik. A28: 1–19. ISSN 0365-4133.
• Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.