משפט ההעתקה הפתוחה
משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.
המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]
יהי אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על Y. אזי A העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה התמונה שלה היא קבוצה פתוחה ב Y.
הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]
מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב X מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח D שמרכזו נקודת האפס של X, התמונה היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- 0 היא נקודת פנים של (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).
כדי להראות ש- 0 היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה K היא נקודה x המקיימת, לכל y במרחב, קיים מספר חיובי כך שקטע מהישר מוכל כולו ב K. היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.
כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:
- משפט ליפשיץ: עבור קבוצה -קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).
כעת, נוכיח ש 0 היא נקודת מרכז של AD. בהינתן נקודה עלינו להראות שקיים קטע המוכל ב-AD, עבור ערך כלשהו. מאחר ש A על קיים x ב- X כך ש A(x)=y. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה -קמורה נובע ש- 0 נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר שמוכל כולו ב D. כעת, אם נפעיל את A על הקטע נקבל ש (השוויון השמאלי נובע מהפעלת A על x וליניאריות). לכן, 0 היא נקודת מרכז של AD וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן AD קבוצה פתוחה.
מאחר שהראנו שההעתקה A מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.
שימושים ומסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]
- משפט ההעתקה ההופכית: אם A : X → Y הוא אופרטור ליניארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי A-1 הוא רציף גם כן.
- משפט הגרף הסגור: אם A : X → Y הוא אופרטור ליניארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה ב X שמקיימת נובע ש y=0) אזי A הוא גם אופרטור רציף.