משפט ההעתקה הפתוחה

משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.

המשפט

יהי $\ A:X\to Y$ אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על Y. אזי A העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה $\ V\subset X$ התמונה שלה $\ A(V)$ היא קבוצה פתוחה ב Y.

הוכחת המשפט

מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב X מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח D שמרכזו נקודת האפס של X, התמונה $\ A(D)$ היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- 0 היא נקודת פנים של $\ A(D)$ (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).

כדי להראות ש- 0 היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה K היא נקודה x המקיימת, לכל y במרחב, קיים מספר חיובי $\alpha$ כך שקטע מהישר $\ [x,\alpha y)\subset [x,y)$ מוכל כולו ב K. היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.

כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:

משפט ליפשיץ: עבור קבוצה $\sigma$-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).

כעת, נוכיח ש 0 היא נקודת מרכז של AD. בהינתן נקודה $y\in Y$ עלינו להראות שקיים קטע $\ [0,\alpha y)$ המוכל ב-AD, עבור ערך $\alpha$ כלשהו. מאחר ש A על קיים x ב- X כך ש A(x)=y. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה $\sigma$-קמורה נובע ש- 0 נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר $\ [0,A\alpha x)$ שמוכל כולו ב D. כעת, אם נפעיל את A על הקטע נקבל ש $\ [0,\alpha y)=[0,\alpha Ax)\subset AD$ (השוויון השמאלי נובע מהפעלת A על x וליניאריות). לכן, 0 היא נקודת מרכז של AD וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן AD קבוצה פתוחה.

מאחר שהראנו שההעתקה A מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.

שימושים ומסקנות

• משפט ההעתקה ההופכית: אם A : X → Y הוא אופרטור ליניארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי A^-1 הוא רציף גם כן.
• משפט הגרף הסגור: אם A : X → Y הוא אופרטור ליניארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה $\ x_{n}\to 0$ ב X שמקיימת $\ Ax_{n}\to y$ נובע ש y=0) אזי A הוא גם אופרטור רציף.

ראו גם

• קבוצה פתוחה
• נקודת מרכז
• נקודת פנים
• משפט הגרף הסגור