משפט הפירוק של האן

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של האן הוא משפט הקובע כי מרחב מדיד עם מידה מסומנת ניתן לפירוק לקבוצה חיובית וקבוצה שלילית.

למשפט חשיבות רבה בתורת המידה והוא מהווה בסיס למרבית ההוכחות של משפט הפירוק של ז'ורדן, משפט הפירוק של לבג ומשפט רדון-ניקודים.

המשפט הוכח לראשונה במאמר מאת הנס האן בשנת 1921.

מבוא ומונחים בסיסיים

עבור מרחב מדיד כלשהו $(\Omega ,\Sigma )$, מידה מסומנת היא פונקציה $\mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ (כאשר $\mathbb {R}$ הוא שדה המספרים הממשיים) המקיימת סיגמא-חיבוריות, מתאפסת עבור הקבוצה הריקה ומקבלת לכל היותר את אחד הערכים $\infty$ ו-$-\infty$ (לא את שניהם).

קבוצה $P\in \Sigma$ תקרא קבוצה חיובית אם ורק אם לכל $\Sigma \ni B\subseteq P$ מתקיים $\mu (B)\geq 0$.

קבוצה $N\in \Sigma$ תקרא קבוצה שלילית אם ורק אם לכל $\Sigma \ni B\subseteq N$ מתקיים $\mu (B)\leq 0$.

משפט הפירוק של האן מאפשר להפריד את $\Omega$ לקבוצה חיובית וקבוצה שלילית.

ניסוח מתמטי

עבור מרחב מדיד $(\Omega ,\Sigma )$ ומידה מסומנת $\mu$ קיימות קבוצות $P,N\in \Sigma$ כך ש:

1. $P$ חיובית לפי $\mu$.
2. $N$ שלילית לפי $\mu$.
3. $P\cup N=\Omega$.
4. $P\cap N=\emptyset$.

תקציר ההוכחה

מאחר ש-$\mu$ מקבלת לכל היותר את אחד הערכים $\infty$ ו-$-\infty$ אבל לא את שניהם, ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות כי היא אינה מקבלת את הערך $\infty$ (אחרת מוכיחים את המשפט עבור המידה המסומנת $-\mu$).

ראשית מוכיחים את הלמה הבאה: לכל $A\in \Sigma$ קיימת $\Sigma \ni P\subseteq A$ חיובית כך ש-$\mu (P)\geq \mu (A)$.

לאחר מכן מגדירים ב-$s:=\sup {\{\mu (A)\mid A\in \Sigma \}}$. לפי הגדרת הסופרימום קיימת סדרה $\{P_{n}\}\subseteq \Sigma$ כך ש-$\mu (P_{n})\to s$. בגלל הלמה ניתן להניח כי הסדרה מורכבת מקבוצות חיוביות בלבד. מגדירים $P:=\bigcup {P_{n}}$ ומאחר ומדובר באיחוד של קבוצות חיוביות, $P$ היא קבוצה חיובית. כמו כן, לפי בניית הסדרה $\{P_{n}\}$, בהכרח מתקיים כי $\mu (P)=s$.

כעת מגדירים $N:=\Omega \backslash P$. ברור כי $N$ מדידה וכי $P\cap N=\emptyset$.

כדי לסיים את ההוכחה יש להוכיח כי $N$ היא קבוצה שלילית. לשם כך לוקחים $\Sigma \ni B\subseteq N$ כלשהי. לפי חיבוריות של $\mu$:

$\mu (B)+s=\mu (B)+\mu (P)=\mu (B\cup P)\leq s$

כאשר אי השוויון הימני נובע מהגדרת הסופרימום. מחסירים את $s$ משני האגפים (ניתן לעשות זאת כי בהכרח $s\neq \infty$) ומתקבל $\mu (B)\leq 0$. הדבר נכון לכל $B$ כזו, ועל כן $N$ היא קבוצה שלילית. מ.ש.ל.

יחידות

בעוד שמשפט הפירוק אינו מוכיח יחידות של הפירוק, ניתן להוכיח כי הפירוק יחיד עד כדי קבוצה ממידה אפס.

בהינתן שני פירוקים לפי משפט הפירוק של האן $P,N$ ו-$P',N'$ ניתן להסיק כי הקבוצות $P'\cap N$ ו-$P\cap N'$ הן בהכרח ממידה אפס, זאת מאחר שהן תת-קבוצות הן של קבוצה חיובית והן שלילית. לכן:

${\begin{aligned}\mu (P\Delta P')=\mu ((P\backslash P')\cup (P'\backslash P))=\mu (P\backslash P')+\mu (P'\backslash P)\\=\mu (P\cap N')+\mu (P'\cap N)=0+0=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mu (N\Delta N')=\mu ((N\backslash N')\cup (N'\backslash N))=\mu (N\backslash N')+\mu (N'\backslash N)\\=\mu (N\cap P')+\mu (N'\cap P)=0+0=0\end{aligned}}$

כלומר, ההפרשים הסימטריים בין הקבוצות החיוביות ובין הקבוצות השליליות הם ממידה אפס.