משתמש:שי דשא/אי שיוויון מרקוב

אי שיוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות שX נמצא בתחום המסומן באדום.

בתורת ההסתברות אי-שיוויון מרקוב מספק חסם עליון עבור ההסתברות שפונקציה אי שלילית של משתנה מקרי גדולה או שווה לקבוע נתון. אי-שיוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדרה מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'ביצ'ב שהיה מורו של מרקוב. אי-שיוויון מרקוב מכונה גם אי שיוויון צ'ביצ'ב ואי שיוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה, אך אין לבלבל בינו לבין אי-שיוויון צ'ביצ'ב המפורסם.

אי שיוויון מרקוב (בדומה לאי-שיוויון צ'ביצ'ב ואי-שיוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השיוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי.

דוגמא קלאסית לשימוש באי-שיוויון מרקוב היא בכדי להראות שלא ייתכן כי העשירון העליון של האוכלוסיה מרוויח פי 12 מהמשכורת הממוצעת.

הצהרה

במושגים של תורת המידה, אי-שיוויון מרקוב גורס כי בהנתן מרחב מדיד $(X,\Sigma ,\mu )$ ופונקציה מדידה $f$ אל הישר הממשי המורחב, אז לכל $t>0$ מתקיים:

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu .$

במקרה הפרטי בו מדובר על מרחב הסתברות (כלומר, בו המרחב הוא ממידה 1) אי-שיוויון זה שקול לטענה שעבור כל $a>0$ מתקיים

$\Pr(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}.$

ובפרט

$\Pr((X-{\textrm {E}}(X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},$

מכאן ניתן להסיק את אי-שיוויון צ'ביצ'ב:

$\Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.$

הוכחה למקרה ההסתברותי

יהי $X$ משתנה מקרי רציף (ההוכחה אנאלוגית עבור המקרה הדיסקרטי), אזי:

$\mathbb {E} [X]=\int _{0}^{\infty }xf_{x}(x)dx\geq \int _{a}^{\infty }xf_{x}(x)dx\geq a\int _{0}^{\infty }f_{x}(x)dx=aP(X\geq a)$

ניתן להכליל הוכחה זו למקרה הכללי. [[קטגוריה:אי-שוויונות בתורת ההסתברות]] [[en:Markov's inequality]] [[ca:Desigualtat de Màrkov]] [[de:Markow-Ungleichung]] [[es:Desigualdad de Márkov]] [[eu:Markoven ezberdintza]] [[fr:Inégalité de Markov]] [[ko:마르코프 부등식]] [[it:Disuguaglianza di Markov]] [[mk:Неравенство на Марков]] [[nl:Markov-ongelijkheid]] [[ja:マルコフの不等式]] [[no:Markovs ulikhet]] [[pl:Nierówność Markowa]] [[ru:Неравенство Маркова]] [[sv:Markovs olikhet]] [[th:อสมการของมาร์คอฟ]] [[uk:Нерівність Маркова]] [[ur:مارکوو نامساوات]]