משתמש:The Hatter/חוג חבורה

באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג R יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה G. לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.

הגדרה

יהא R חוג ו G חבורה, אז חוג החבורה $\ R[G]$ מוגדר להיות כל הפונקציות f מ G ל R עם תומך סופי, כלומר $\ f(g)=0$ פרט למספר סופי של $g\in G$ . החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י

• $\ (f_{1}+f_{2})(g)=f_{1}(g)+f_{2}(g)$
• $(\alpha \cdot f)(g)=\alpha (f(g))$

כאשר $\ f_{1},f_{2},f\in R[G]$ הם איברים בחוג, $g\in G$ ו $\alpha \in R$ הוא סקלר. הכפל של שני איברים $\ f_{1},f_{2}\in R[G]$ מוגדר ע"י קונבולוציה

• $\ (f_{1}*f_{2})(g)=\sum _{h\in G}f_{1}(h)\cdot f_{2}(h^{-1}g)$

מאחר ו $\ f_{1},f_{2}$ מתאפסות פרט למספר סופי של $\ g\in G$ אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.

נסמן ב $\chi _{g}\in R[G]$ את הפונקציה שמקבלת 1 ב g ואפס אחרת, אז כל איבר $\ f\in R[G]$ ניתן לייצוג ע"י

$f=\sum _{g\in G}f(g)\chi _{g}$

כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול ע"י הקבוצה $\{\chi _{g}\mid g\in G\}$ וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י

• $(\sum _{g\in G}\alpha _{g}\chi _{g})\cdot (\sum _{h\in G}\beta _{g}\chi _{h})=\sum _{g,h\in G}\alpha _{g}\beta _{h}\chi _{gh}$

לעיתים נוהגים לסמן את $\ \chi _{g}$ ע"י איבר החבורה g ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה $\sum \alpha _{g}\cdot g$ כאשר $\alpha _{g}\in R$ הם כולם אפס פרט למספר סופי.

תכונות בסיסיות

1. תת החוג $\ \{\alpha \cdot e\mid \alpha \in R\}$ של חוג החבורה $\ R[G]$ (כאשר e הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג R.
2. חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה $\ R[G]$, מכילה תת חבורה איזומורפית לחבורה G - זו התת חבורה $\{1\cdot g\mid g\in G\}$ (כאשר 1 הוא היחידה של החוג R).
3. אם החוג R והחבורה G הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה $\ R[G]$ הוא קומוטטיבי.
4. אם H היא תת חבורה של G אז $\ R[H]$ הוא תת חוג של $\ R[G]$. בצורה דומה, אם S הוא תת חוג של R אז $\ S[G]$ הוא תת חוג של $\ R[G]$.

הרחבות של חוג החבורה

נניח עתה ש $\ R=k$ הוא שדה. עבור פונקציה $\ f:G\times G\rightarrow k^{*}$ נגדיר את $\ k^{f}[G]$ להיות החוג עם אותו מבנה אדיטיבי כמו חוג החבורה, והכפל מוגדר ע"י

$\chi _{g}\cdot \chi _{h}=f(g,h)\chi _{gh}$

על מנת שחוג זה יקיים את כלל האסוציאטיביות, הפונקציה f צריכה לקיים