פולינום אופייני

באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $A$ היא מטריצה ריבועית מסדר $n$, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $p_{A}(\lambda )=\left|\lambda I-A\right|$, כאשר $I$ היא מטריצת היחידה ו- $|\cdot |$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום מתוקן שמעלתו שווה למספר הרכיבים שבמטריצה (הסדר שלה שסומן ב-$n$), ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+t_{n-1}\lambda ^{n-1}+t_{n-2}\lambda ^{n-2}+\dots +t_{0}$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $t_{0}=(-1)^{n}|A|$, ואילו $t_{n-1}$ שווה למינוס העקבה של $A$. בפרט הפולינום האופייני של מטריצה 2x2 הוא מהצורה $p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (A)\cdot \lambda +\det(A)$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

השורשים של הפולינום האופייני הם הערכים העצמיים של $A$.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו $A$ מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $p_{A}(A)=A^{n}+t_{n-1}A^{n-1}+\dots +t_{0}I=0$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

קל להראות זאת לפי ההגדרה של מטריצה דומה: $det(xI-A)=det(xI-P^{-1}BP)=det(P^{-1}(xI-B)P)={\cancel {\frac {1}{det(P)}}}\cdot det(xI-B)\cdot {\cancel {det(P)}}=det(xI-B)$

לפי חוקי הדטרמיננטה נקבל: $det(P^{-1}\cdot B\cdot P)={\cancel {\frac {1}{det(P)}}}\cdot det(B)\cdot {\cancel {det(P)}}=det(B)$

ראו גם

• מטריצה
• פולינום
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן

קישורים חיצוניים

• פולינום אופייני, באתר MathWorld (באנגלית)