פולינום אופייני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם היא מטריצה ריבועית מסדר n, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום , כאשר היא מטריצת היחידה ו- מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים , המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא , ואילו שווה לעקבה של . באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר . לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההיפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]