פולינום אופייני
באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.
אם היא מטריצה ריבועית מסדר , הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום , כאשר היא מטריצת היחידה ו- מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום מתוקן שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.
כשכותבים , המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא , ואילו שווה למינוס העקבה של . לכן, נקבל שבפרט למטריצה 2x2 הפולינום האופייני הוא מהצורה . באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.
התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר . לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.
לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).
ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]
קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- פולינום אופייני, באתר MathWorld (באנגלית)