פולינום אופייני

באלגברה ליניארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $\,A$ היא מטריצה ריבועית מסדר n, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $f(\lambda )=\left|\lambda I-A\right|$, כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה ו- $\ |\,\cdot \,|$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $\ f_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-t_{1}\lambda ^{n-1}+t_{2}\lambda ^{n-2}\pm \dots +(-1)^{n}t_{n}$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $\ t_{n}=(-1)^{n}|A|$, ואילו $\ t_{1}$ שווה למינוס העקבה של $\,A$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $\ f_{A}(A)=A^{n}-t_{1}A^{n-1}+\dots +(-1)^{n}t_{n}I=0$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן