הגרף של
|
cos
(
z
)
|
{\displaystyle |\cos(z)|}
עיגול היחידה . ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה. באנליזה מרוכבת , עקרון המקסימום קובע שאם
f
{\displaystyle f}
פונקציה הולומורפית בתחום
D
{\displaystyle D}
z
∈
D
{\displaystyle z\in D}
מקסימום מקומי של
|
f
|
{\displaystyle |f|}
f
{\displaystyle f}
קבועה .
בנוסח שקול, אם
f
{\displaystyle f}
רציפה בקבוצה קומפקטית
D
¯
{\displaystyle {\bar {D}}}
פנים שלה, אזי המקסימום של
|
f
|
{\displaystyle |f|}
D
¯
{\displaystyle {\bar {D}}}
שפה
∂
D
¯
{\displaystyle \partial {\bar {D}}}
יהי
z
0
∈
D
{\displaystyle z_{0}\in D}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
R
>
0
{\displaystyle R>0}
|
z
−
z
0
|
<
R
{\displaystyle |z-z_{0}|<R}
f
{\displaystyle f}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
יהי
0
≤
r
<
R
{\displaystyle 0\leq r<R}
משפט הערך הממוצע של גאוס :
f
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
d
θ
{\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{\theta i})d\theta }
לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי :
|
f
(
z
0
)
|
≤
1
2
π
∫
0
2
π
|
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
|
d
θ
≤
1
2
π
∫
0
2
π
|
f
(
z
0
)
|
d
θ
=
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta \leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0})|d\theta ={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}}
זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים המתחילה ומסתיימת באותו מספר, ועל כן כולם שוויונות. לכן:
(
∗
)
∫
0
2
π
|
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
|
d
θ
=
∫
0
2
π
|
f
(
z
0
)
|
d
θ
{\displaystyle (*)\qquad \int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}d\theta }
נגדיר
g
(
x
)
=
∫
0
x
(
|
f
(
z
0
)
|
−
|
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
|
)
d
θ
{\displaystyle g(x)=\int \limits _{0}^{x}{\bigl (}{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}{\bigr )}d\theta }
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle [0,2\pi ]}
g
{\displaystyle g}
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}}
g
′
(
θ
)
=
|
f
(
z
0
)
|
−
|
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
|
≥
0
{\displaystyle g'(\theta )={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}\geq 0}
אולם מ-
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
g
(
0
)
=
g
(
2
π
)
=
0
{\displaystyle g(0)=g(2\pi )=0}
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle g(x)=0}
x
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x\in [0,2\pi ]}
g
′
(
θ
)
=
0
{\displaystyle g'(\theta )=0}
x
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle x\in [0,2\pi ]}
|
f
(
z
0
+
r
e
θ
i
)
|
=
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}}
קיבלנו כי
|
f
|
{\displaystyle |f|}
משוואות קושי-רימן ) גם
f
{\displaystyle f}
משפט היחידות נובע כי
f
{\displaystyle f}
ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות . בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה
u
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle u(x,y)=x}
{
(
x
,
y
)
:
x
2
+
y
2
<
1
}
{\displaystyle {\bigl \{}(x,y):x^{2}+y^{2}<1{\bigr \}}}
{
0
}
×
(
0
,
1
)
{\displaystyle \{0\}\times (0,1)}
ראשית ננסח גרסה נקודתית:
משפט – אם
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
z
0
∈
Ω
{\displaystyle z_{0}\in \Omega }
z
0
{\displaystyle z_{0}}
הגרסה הכללית היא:
משפט – אם
u
{\displaystyle u}
Ω
{\displaystyle \Omega }
שפה
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
z
0
∈
Ω
{\displaystyle z_{0}\in \Omega }
max
z
∈
Ω
¯
u
(
z
)
=
u
(
z
0
)
{\displaystyle \max _{z\,\in \,{\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z_{0})}
Ω
{\displaystyle \Omega }
במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית , ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.
למשל, אם
f
{\displaystyle f}
פונקציה שלמה ומתקיים
∀
|
z
|
=
1
:
f
(
z
)
∈
R
{\displaystyle \forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
∀
|
z
|
=
1
:
I
m
(
f
(
z
)
)
=
0
{\displaystyle \forall |z|=1:{\rm {Im}}(f(z))=0}
∀
|
z
|
≤
1
:
I
m
(
f
(
z
)
)
=
0
{\displaystyle \forall |z|\leq 1:{\rm {Im}}(f(z))=0}
e
i
f
(
z
)
:
D
→
{
|
z
|
=
1
}
{\displaystyle e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}}
העתקה פתוחה , ולכן היא קבועה, ולכן גם
f
{\displaystyle f}
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle x\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cedb963595290bb4f2f9e0b1e140ba8432ccd8b)
