פולינומי לז'נדר

במתמטיקה, פולינומי לז׳נדר הם פולינומים אורתוגונליים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז׳נדר: ${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.$ הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן־מארי לז׳נדר. המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.

למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב־ $x=\pm 1$ , והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס). הנירמול הסטנדרטי הוא: $\ P_{n}(1)=1$ .

את הפולינום ה־ $n$ ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז: $P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

פולינומי לז׳נדר הראשונים

להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

n	$P_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$x\,$
2	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,$
3	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,$
4	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,$
5	${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,$
6	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,$
7	${\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,$
8	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,$
9	${\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,$
10	${\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,$

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.

תכונות ומאפיינים

אורתוגונליות

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט). לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה שעבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז׳נדר הם אורתוגונליים נתונה על ידי:

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}

כאשר $\ \delta$ היא הדלתא של קרונקר.

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם־שמידט עבור חֲזקות שלמות של $\ x$ לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז׳נדר היא: ${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)$ . ניתן להשתמש בה לחישוב ערכים של פולינומי לז׳נדר.

לדוגמה, אם נציב $x=0$ נקבל: ${\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(0)$ , וזהו טור טיילור מוּכר שניתן לתיאור על ידי: $\sum _{k=0}^{\infty }\ {\binom {2k}{k}}\ \left({\frac {-1}{4}}\right)^{k}\eta ^{2k}$ . כעת, כיוון שחזקת המשתנה היא זוגית, כל האברים האי־זוגיים מתאפסים, וכל מה שנשאר הוא להשווֹת את האברים הזוגיים בין הסכומים.

יחסי רקורסיה

בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד־צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז׳נדר בעזרת נוסחה רקורסיבית; שמחשבת פולינום מסדר מסוים בעזרת הפולינומים הקודמים לו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:

P_{n}(x)={\frac {1}{n}}((2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x))\,

הצגה אינטגרבילית

הצגה אינטגרבילית של פולינום לז׳נדר: $P_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int (1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt$

שימושים

פולינומי לז׳נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.

באזור ללא מטענים חשמליים (אך עם תנאי שפה שונים מאפס), כאשר לבעיה יש סימטריה גלילית, ניתן לחשב את הפוטנציאל החשמלי במרחב בעזרת:

$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta )$

כאשר המקדמים $A_{\ell }$ ו־ $B_{\ell }$ ייקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.

כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קואורדינטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון.):

$\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז׳נדר לפי הצורה הבאה: $\Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )$

פולינומי לז׳נדר משמשים בנוסף כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה־z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.

באנליזה נומרית פולינומי לג׳נדר ממלאים תפקיד חשוב בחישובים נומריים של אינטגרלים בתרבוע גאוס־לז׳נדר. בכלל תרבוע זה, אינטגרל של פונקציה מקורב על ידי סכום ממושקל של הערכים של הפונקציה בשורשים של פולינומי לג׳נדר. המשקולות גם כן מחושבות באמצעות פולינומי לג׳נדר.

פולינומי לז׳נדר המוכללים

נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: ${d \over dx}\left[(1-x^{2}){dy \over dx}\right]+\left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)y=0.$ עבור $m=0$ נקבל את משוואת לז׳נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז׳נדר המוכללים $P_{l}^{m}(x)$ וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז: