קירוב דיופנטי

בתורת המספרים, קירוב דיופנטי של מספר ממשי נתון הוא מספר רציונלי קרוב אל המספר המבוקש. האנליזה הדיופנטית עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית. התחום נקרא על שמו של דיופנטוס שהציג בעיות שהפתרונות שלהן דווקא במספרים שלמים.

קירוב דיופנטי של מספר ממשי

המספר רציונלי $\ {\frac {n}{m}}$ מקרב טוב יותר את המספר הממשי $\ \alpha$ ככל שהמרחק $\ |\alpha -{\frac {n}{m}}|$ קטן יותר בהשוואה לגודל המכנה $m$. המדד הבסיסי בעניין זה הוא סדר הקירוב: אומרים ש-$\ \alpha$ ניתן לקירוב מסדר r, אם קיימים קבוע חיובי $C$ ואינסוף זוגות $\ {\frac {n}{m}}$, כך ש- $\ |\alpha -{\frac {n}{m}}|<{\frac {1}{Cm^{r}}}$.

קל לראות שכל מספר ממשי $\ \alpha$ ניתן לקירוב מסדר ראשון: לכל $m$, המספר $\ m\alpha$ נמצא במרחק שאינו עולה על $\ 1/2$ מן המספר השלם הקרוב ביותר, ולכן קיים $n$ כך ש- $\ |\alpha -{\frac {n}{m}}|\leq {\frac {1}{2m}}$.

דיריכלה הוכיח בעזרת עקרון שובך היונים שכל מספר ממשי אי-רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני (ראו הוכחה במסגרת משמאל), עם הקבוע C=1. הוא הוכיח גם שכל מספר רציונלי אינו ניתן לקירוב מסדר העולה על 1. ב-1891 הוכיח A. Hurwitz שכל מספר ממשי שאינו רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני עם הקבוע $\ C={\sqrt {5}}$. תוצאה זו היא אופטימלית בשני המובנים: יש מספרים שאינם ניתן לקירוב מסדר $\ 2+\epsilon$, לכל $\ \epsilon >0$ (ראו משפט Roth להלן); כמו כן, יחס הזהב $\ \gamma ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ניתן לקירוב מסדר שני עבור $\ C={\sqrt {5}}$, אבל לא עבור כל קבוע גדול יותר. אם מוציאים מכלל החישוב את המספרים הנמצאים במסלול של יחס הזהב תחת פעולת $\ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, כלומר, את המספרים $\ {\frac {a\gamma +b}{c\gamma +d}}$ כאשר $\ a,b,c,d$ שלמים ו- $\ ad-bc=\pm 1$, אז אפשר לקרב מסדר שני כל מספר אי-רציונלי נותר, עם $\ C={\sqrt {8}}$. באופן כללי יותר, לכל $\ C<3$ יש רק מספר סופי של מסלולי-$\ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, שמלבדם כל מספר אי-רציונלי ניתן לקרוב מסדר שני, עם הקבוע C. גם כאן, 3 הוא ערך אופטימלי: יש אינסוף מסלולים של מספרים שאינם ניתנים לקירוב מסדר שני עם $C=3$. התנהגות זו מתוארת בספקטרום של מרקוב וקווי Hall ([1]).

ב-1844 הוכיח ליוביל את משפט ליוביל הקובע כי לא ניתן לקרב מספר אלגברי אי-רציונלי מסדר שגדול מהדרגה שלו. תוצאה זו אפשרה לו להוכיח לראשונה כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שכן הוא הראה שקיימים מספרים שניתן לקרב מכל סדר שהוא (אלו קרויים על שמו מספרי ליוביל).

ב-1955 שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-2. תוצאה מעין זו מאפשרת להוכיח בקלות את הטרנסצנדנטיות של 𝑒 ושל קבועים מוכרים אחרים (אם כי הטרנסצנדטיות של $\ \pi$ דורשת מאמץ רב יותר).

קירוב דיופנטי סימולטני

לפי משפט של מינקובסקי, שעסק רבות ב"גאומטריה של מספרים", אפשר לקרב זוג מספרים אי-רציונליים באופן סימולטני: לכל $\ \alpha ,\beta$ יש אינסוף שלשות של מספרים שלמים $\ n,n',m$ כך ש- $\ |\alpha -{\frac {n}{m}}|<{\frac {1}{m^{3/2}}}$ ו- $\ |\beta -{\frac {n'}{m}}|<{\frac {1}{m^{3/2}}}$. אותם שיקולים מראים שאפשר לקרב סימולטנית כל קבוצה סופית של מספרים $\ \alpha _{1},\dots ,\alpha _{d}$, על ידי מספרים $\ n_{1},\dots ,n_{d},m$, כך ש- $\ |\alpha _{i}-{\frac {n_{i}}{m}}|<{\frac {1}{m^{1+1/d}}}$. השערת ליטלווד עוסקת בטיב הקירוב של זוג מספרים אי-רציונליים.

התפלגות של הערך השברי

לכל מספר אי-רציונלי $\ \alpha$, הסדרה $\ (\alpha ),(2\alpha ),(3\alpha ),\cdots$ היא בעלת התפלגות אחידה בקטע היחידה, כאשר $\ (x)=x-[x]$ מציין את החלק השברי של x (ו- $\ [x]$ הוא החלק השלם), זוהי תוצאה של הרמן וייל שהוכחה באמצעות אנליזה הרמונית, ההוכחה גם סיפקה כלי כללי לדעת מתי סדרה מתפלגת אחיד ביחס למידה כלשהי בחבורות טופולוגיות קומפקטיות - קריטריון וייל. קרונקר הוכיח שאם $\ 1,\alpha ,\beta$ בלתי תלויים ליניארית מעל שדה המספרים הרציונליים, אז סדרת הזוגות $\ ((n\alpha ),(n\beta ))$ צפופה בריבוע היחידה, קריטריון וייל מאפשר להראות שגם סדרה זו מפולגת אחיד. במסגרת התורה הארגודית, התגלו הוכחות נוספות לדברים הללו, באמצעות פיתוח של "חצי-מכפלות" (skew products) בידי הלל פורסטנברג, הכלים הללו מאפשרים לעיתים להוכיח התפלגות אחידה של מסלולים מסובכים יותר.

זרימות הומוגניות ודינמיקה

ניתן להראות כי פיתוח של שבר משולב נותן את הקירוב הטוב ביותר, בנוסף, ניתן להראות כי פיתוח של שבר משולב מתאים לזרימה גיאודזית על המשטח המודולרי $\ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$. Dani הראה בשנות ה-80 דרך כללית להוכחה כי מספר הוא badly approximable דרך הוכחת התבדרות של מסלולים תחת זרימות גאודזיות במרחבים דומים למשטח המודולרי. בשיטות דומות לאלו ניתן להוכיח (במקרים מיוחדים) תוצאות כלליות בתורת המספרים, דוגמת השערת Oppenheim ו-השערת ליטלווד.

מקורות

• Ivan Niven, 1963. Diophantine Approximations. ISBN 978-0486462677
• Dmitry Kleinbock, Some Applications Of Homogeneous Dynamics To Number Theory.