רצועה (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, רצועה (הנקראת גם חבורה למחצה אידמפוטנטית) היא חבורה למחצה שבה כל איבר הוא אידמפוטנט (במילים אחרות, שווה לריבוע שלו, או נוסחתית: x*x=x). רצועות נחקרו לראשונה וקיבלו את שמן על ידי קליפורד (1954). הסריג של מגווני הרצועות תואר באופן עצמאי בתחילת שנות ה-70 על ידי ביריוקוב, פנהמור וגרהרד. סריגים למחצה, רצועות אפס שמאליות, רצועות אפס ימניות, רצועות מלבניות, רצועות נורמליות, רצועות רגולריות-שמאליות, רצועות רגולריות-ימניות ורצועות רגולריות, הן תת-מחלקות ספציפיות של רצועות השוכנות בתחתית הסריג זה, אשר מעוררות עניין מיוחד והן מתוארות בקצרה להלן.

סוגים של רצועות

משפחה של רצועות יוצרת מגוון אם היא סגורה תחת תת-חבורות-למחצה, תמונות הומומורפיות ומכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). בירקהוף הוכיח שכל מגוון של חבורות למחצה מוגדר על ידי זהויות. משפט: כל מגוון של רצועות יכול להיות מוגדר לפי זהות אחת ויחידה.

סריג למחצה

סריגים למחצה הם בדיוק רצועות קומוטטיביות. כלומר, אלו הן רצועות המקיימות את הזהות:

• xy = yx לכל x,y.

רצועות משרות יחס סדר שניתן להגדיר כ- $x\leq y$ אם ורק אם $xy=x$. דרישת הקומוטטיביות מרמזת שקדם סדר זה הופך לסדר חלקי בסריג למחצה.

רצועות אפס

רצועת אפס-שמאלית היא רצועה המקיימת את הזהות:

• xy = x,

מכך שללוח הכפל שלה שורות קבועות.

באופן סימטרי, רצועת אפס-ימנית היא רצועה המקיימת את הזהות:

• xy = y,

כך שללוח הכפל שלה עמודות קבועות.

רצועות מלבניות

חבורה למחצה מלבנית היא חבורה למחצה S המקיימת את הזהויות:

1. xyx=x לכל x,y ב-S.

טענה 1. חבורה למחצה א-קומוטטיבית (כלומר מ-ab=ba נובע a=b) היא רצועה. הוכחה. בכל מאגמה גמישה, $(aa)a=a(aa)$, לכן כל איבר מתחלף עם הריבוע שלו. לכן, בכל חבורה למחצה א-קומוטטיבית, כל איבר הוא אידמפוטנט ולכן כל חבורה למחצה א-קומוטטיבית היא למעשה רצועה א-קומוטטיבית.

טענה 2. חבורה למחצה המקיימת את הזהות xyx=x היא רצועה. הוכחה. aa=(aa)a(aa)=(aaa)aa=a(aa)=a.

טענה 3. חבורה למחצה מקיימת את הזהות xyx=x אם ורק אם היא א-קומוטטיבית.

הוכחה. ברצועה א-קומוטטיבית, $x(xyx)=(xx)yx=xyx=xy(xx)=(xyx)x$, כלומר, $x$ מתחלף עם $xyx$, ולכן $xyx=x$. מאידך אם רצועה מקיימת את הזהות xyx=x, ו-ab=ba אז a=aba=abba=baab=b.

טענה 4. חבורה למחצה המקיימת את הזהות xyx=x מקיימת גם את הזהות xyz=xz. הוכחה. לפי טענה 2 החבורה למחצה היא רצועה, ואז xyz=(xy)zxz = (x(yz)x)z=xz. (הכיוון ההפוך אינו נכון, למשל בחבורה למחצה עם מכפלת האפס).

טענה 5. בכל רצועה, הזהות xyx=x שקולה לזהות xyz=xz. הוכחה. אם רצועה מקיימת את הזהות xyz=xz אז בפרט xyx=xx=x. הכיוון השני הוא טענה 4.

לחבורה למחצה מלבנית עשויים להיות איברים שאינם אידמפוטנטיים. עם זאת, האידמפוטנטים של חבורה למחצה מלבנית מהווים תת-רצועה, שהיא כמובן רצועה מלבנית.

ישנו סיווג מלא של רצועות מלבניות. בהינתן קבוצות שרירותיות I ו- J ניתן להגדיר פעולת מאגמה על I × J לפי הגדרה

$(i,j)\cdot (k,\ell )=(i,\ell )\,$.

את הזהות xyz=xz אפשר ללמוד בכל מאגמה, לאו דווקא בחבורה למחצה. שתי הזהויות (xy)z = xz וגם x(yz) = xz, יחד, גוררות אסוציאטיביות (xy)z =x(yz), ואז גם את הזהות xyz=xz. כל מאגמה אידמפוטנטית שמקיימת את שתי הזהויות המלבניות היא בעצם רצועה מלבנית. אז כל מאגמה שעונה על שתי הזהויות xyx=x ו-xyz=xz (ארבע זהויות מאגמה נפרדות) היא רצועה, ולכן רצועה מלבנית.

פעולת המאגמה שהוגדרה לעיל היא רצועה מלבנית מכיוון שלכל זוג (i, j) יש לנו (i, j) · (i, j) = (i, j).. לכן כל איבר הוא אידמפוטנט, והזהות xyx=x נובעת xyz=xz יחד עם האידמפוטנציה.

(מאגמה אידמפוטנטית שמקיימת רק את הזהות $(xy)x=x(yx)=x$ אינה בהכרח אסוציאטיבית, ולכן הזהות xyz=xz נובעת מהראשונה רק בחבורה למחצה, ולא בכל מאגמה).

כל רצועה מלבנית היא איזומורפית לאחת מהצורות לעיל (או ש- $S$ ריקה, או שנבחר איבר כלשהו $e\in S$, ואז ($s\mapsto (se,es)$ ) מגדיר איזומורפיזם $S\cong Se\times eS$). רצועות אפס שמאליות ורצועות אפס ימניות הן רצועות מלבניות, ולמעשה כל רצועה מלבנית היא איזומורפית למכפלה ישרה של רצועת אפס שמאלית ורצועת אפס ימנית. מכאו שכל הרצועות המלבניות מסדר ראשוני (עוצמת הקבוצה ראשונית) הן רצועות אפס, שמאלית או ימנית. אומרים שרצועה מלבנית היא מלבנית טהורה אם היא אינה רצועת אפס שמאלית או רצועת אפס ימנית.

רצועות נורמליות

רצועה נורמלית היא רצועה S המקיימת:

• zxyz = zyxz לכל x,y,z ב-S.

ניתן לומר גם שרצועה נורמלית היא רצועה S המקיימת:

• axyb = ayxb לכל a,b,x,y ב-S.

זוהי אותה משוואה המשמשת להגדרת מאגמה מדיאלית, ולכן ניתן לקרוא לרצועה נורמלית גם רצועה מדיאלית, ורצועות נורמליות הן דוגמאות למאגמות מדיאליות.

רצועות רגולריות שמאליות

רצועה רגולרית-שמאלית היא רצועה S המקיימת:

• xyx = xy לכל x,y ב-S.

אם ניקח חבורה למחצה, ונגדיר a ≤ b אם ורק אם ab = b, נקבל סדר חלקי אם ורק אם חבורה למחצה זו היא רצועה רגולרית-שמאלית. רצועות רגולריות-שמאליות מופיעות באופן טבעי במחקר של פוסטים.

רצועות רגולריות ימניות

רצועה רגולרית-ימנית היא רצועה המקיימת:

• xyx = yx לכל x,y ב-S.

כל רצועה רגולרית-ימנית הופכת לרצועה רגולרית-שמאלית באמצעות מכפלה הפוכה (שחלוף של טבלת הכפל). ואכן, לכל מגוון של רצועות יש גרסה 'הפוכה'; זה מוביל לסימטריה שיקופית, באיור למטה.

רצועות רגולריות

רצועה רגולרית היא רצועה S המקיימת:

• zxzyz = zxyz לכל x,y,z ב-S.

סריג של מגוונים

סריג של מגוונים של רצועות רגולריות. (לפי הזהות הקובעת אותן).

כשהם מסודרים חלקית על ידי הכלה, רצועות יוצרות באופן טבעי סריג, שבו המפגש (meet) של שני מגוונים הוא החיתוך ביניהם והחיבור (join) של שני מגוונים הוא המגוון הקטן ביותר שמכיל את שניהם. זהו סריג בן 14 נקודות, שלם ודיסטריבוטיבי. תת-הסריג המורכב מ-13 המגוונים המוגדרים על-ידי זהויות לא טריוויאליות מוצג באיור (המגוון ה-14 כולל את הרצועות שאינן מקיימות אף זהות נוספת מלבד xx=x). המגוונים של רצועות אפס שמאליות, סריגים למחצה ורצועות אפס ימניות הן שלושת האטומים (איברים מינימליים לא טריוויאליים) של סריג זה.

כל מגוון של רצועות המוצג באיור מוגדר על ידי זהות אחת בלבד. זה לא צירוף מקרים: לפי המשפט שצוטט לעיל, כל מגוון של רצועות יכול להיות מוגדר על ידי זהות אחת.

לקריאה נוספת

• A survey on varieties generated by small semigroups, J. Araujo, J. P. Araujo, Cameraon, Lee, Raminhos, Journal of Algebra (2023).