שדה המספרים האלגבריים

במתמטיקה, שדה המספרים האלגבריים הוא השדה הכולל את כל המספרים המרוכבים האלגבריים מעל הרציונליים, כלומר, את כל המספרים שהם שורש לפולינום כלשהו בעל מקדמים רציונליים. השדה כולל את שורש 2, השורש העשירי של 7, השורשים של $\ x^{5}-x-1=0$ וכדומה, אבל לא את פאי או e, שהם טרנסצנדנטיים.

שדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית. הוא אינו נוצר סופית, משום שכל תת שדה נוצר סופית שלו הוא בעל ממד סופי, היינו, שדה מספרים, ואינו מכיל את כל המספרים האלגבריים. מאידך, שדה המספרים האלגבריים הוא הסגור האלגברי של כל שדה מספרים.

חבורת גלואה של שדה המספרים האלגבריים (מעל הרציונליים), היינו, חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים, היא, ישירות ובעקיפין, אובייקט החקירה המרכזי בתורת המספרים האלגברית.

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא   שדה.   חוג קמוטטיבי עם יחידה.   חוג עם חילוק.   מבנה כללי יותר.   קבוצה סופית   קבוצה בת מניה   קבוצה מעוצמת הרצף   מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על   איזומורפיזם לא קאנוני. העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים $K$). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון           מבנים ארכימדיים   $\mathbb {O}$ $\mathbb {O}$               $\mathbb {H}$ $\mathbb {H}$ מבנים אדליים ו - p-אדיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {C} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {C}$ $(t)$$\mathbb {C}$   $[t]$$\mathbb {C}$ $[t]$$\mathbb {C}$   $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$       $\mathbb {C} _{p}$ $\mathbb {C} _{p}$              מבנים ממאפיין חיובי              ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                                         ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$ ${\overline {\mathbb {Q} (t)}}$   $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $(t)$${\bar {\mathbb {Q} }}$     $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$ $[t]$${\bar {\mathbb {Q} }}$     ${\bar {\mathbb {Q} }}$ ${\bar {\mathbb {Q} }}$             ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$                               ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}$     ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$ ${\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}$                                                       ${\bar {\mathbb {Z} }}$ ${\bar {\mathbb {Z} }}$                 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$       $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $(t)$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$   $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ $((t))$${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$                                                               $K$ $K$     $_{K}$$\mathbb {A}$ $_{K}$$\mathbb {A}$   $_{\nu }$$K$$:=$$F$ $_{\nu }$$K$$:=$$F$   $L$ $L$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי $((t))$$\mathbb {F} _{q}$                   ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$       ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$ ${\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}$   ${{\mathcal {O}}_{F}}$ ${{\mathcal {O}}_{F}}$   ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$ ${\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}$$=$ $\mathbb {F} _{q}$     $(t)$$\mathbb {F} _{q}$ $(t)$$\mathbb {F} _{q}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                       ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$ ${}_{real}$${\overline {\mathbb {R} (t)}}$   $(t)$$\mathbb {R}$ $(t)$$\mathbb {R}$   $[t]$$\mathbb {R}$ $[t]$$\mathbb {R}$   $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$                                                                                                                 $(t)$$\mathbb {Q}$ $(t)$$\mathbb {Q}$   $[t]$$\mathbb {Q}$ $[t]$$\mathbb {Q}$     $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$     $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$ $_{\mathbb {Q} }$$\mathbb {A}$   $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$       $(t)$$\mathbb {F} _{p}$ $(t)$$\mathbb {F} _{p}$     $((t))$$\mathbb {F} _{p}$ $((t))$$\mathbb {F} _{p}$                                                                               $[t]$$\mathbb {Z}$ $[t]$$\mathbb {Z}$     $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$     ${\hat {\mathbb {Z} }}$ ${\hat {\mathbb {Z} }}$   $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$     $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$   $[t]$$\mathbb {F} _{p}$ $[t]$$\mathbb {F} _{p}$     $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$ $[[t]]$$\mathbb {F} _{p}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             $[t]$$\mathbb {N}$ $[t]$$\mathbb {N}$     $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$             $\mathbb {Z} |_{n}$ $\mathbb {Z} |_{n}$