שדה המספרים האלגבריים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, שדה המספרים האלגבריים הוא השדה הכולל את כל המספרים המרוכבים האלגבריים מעל הרציונליים, כלומר, את כל המספרים שהם שורש לפולינום כלשהו בעל מקדמים רציונליים. השדה כולל את שורש 2, השורש העשירי של 7, השורשים של וכדומה, אבל לא את פאי או e, שהם טרנסצנדנטיים.

שדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית. הוא אינו נוצר סופית, משום שכל תת שדה נוצר סופית שלו הוא בעל ממד סופי, היינו, שדה מספרים, ואינו מכיל את כל המספרים האלגבריים. מאידך, שדה המספרים האלגבריים הוא הסגור האלגברי של כל שדה מספרים.

חבורת גלואה של שדה המספרים האלגבריים (מעל הרציונליים), היינו, חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים, היא, ישירות ובעקיפין, אובייקט החקירה המרכזי בתורת המספרים האלגברית.