טופולוגיה דיסקרטית

בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית על קבוצה $\ X$, היא טופולוגיה מנוונת במיוחד, המוגדרת כך שכל הקבוצות יהיו פתוחות. את הטופולוגיה הדיסקרטית אפשר להגדיר באמצעות מטריקה מתאימה, הקרויה המטריקה הדיסקרטית: תחת מטריקה זו, המרחק בין כל שתי נקודות שונות קבוע.

עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו. למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל אקסיומות ההפרדה, היא קומפקטית בדיוק כאשר המרחב סופי והיא מרחב בלתי קשיר לחלוטין. בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמה, את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי) אפשר להגדיר על יריעה אלגברית על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומית תהיה רציפה, וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס. הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיות.

הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמה קיצונית אחת למרחב טופולוגי. בעבר השני מצויה הטופולוגיה הטריוויאלית, שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות. מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל.

כל פונקציה ממרחב דיסקרטי למרחב אחר היא רציפה. מכאן שהמרחבים הדיסקרטיים הם אובייקטים חופשיים בקטגוריה של המרחבים הטופולוגים (כשהמורפיזמים הם פונקציות רציפות).

קישורים חיצוניים

• טופולוגיה דיסקרטית, באתר MathWorld (באנגלית)