מרחב פתרונות

באלגברה לינארית, מרחב הפתרונות, מרחב האפסים או הגרעין של מטריצה $A$ הוא אוסף כל הווקטורים שפותרים את המשוואה $Ax=0$. כלומר זהו אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הלינארית ההומוגונית המיוצגת על ידי $A$. את מרחב הפתרונות מסמנים ${\mbox{Null}}(A)$. מרחב הפתרונות הוא תת-מרחב וקטורי של המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$, כאשר n הוא מספר העמודות ב-$A$ (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות). זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון.

אם $T$ היא העתקה לינארית שמיוצגת על ידי מטריצה $A$ לפי בסיס סדור $B$ של התחום של $T$, אז ${\mbox{Null}}(A)$ הוא מרחב וקטורי הקואורדינטות של הגרעין ${\mbox{Ker}}(T)$ לפי $B$, ושני המרחבים איזומרפיים.

הממד של ${\mbox{Null}}(A)$ נקרא האפסיות של $A$ ומסומן ${\mbox{nullity}}(A)$. לכל מטריצה $A$ עם n עמודות מתקיים ${\mbox{nullity}}(A)+{\mbox{rank}}(A)=n$, כאשר ${\mbox{rank}}(A)$ הוא דרגת $A$. המשפט המקביל להעתקות הוא $\dim \operatorname {Ker} T+\dim \operatorname {Im} \,T=\dim V$, כאשר $V$ הוא התחום של $T$.

לפי הגדרתו מרחב הפתרונות של מטריצה הוא מרחב הווקטורים העצמיים השייכים לערך עצמי 0. אם המטריצה היא מטריצה הפיכה מרחב הפתרונות מתנוון וכולל רק את וקטור האפס.

דירוג מטריצות מבוסס על הפעלת פעולות אלמנטריות על מטריצות שמשנות אותה, אך שומרות על מרחב הפתרונות שלה. שיטת הלכסון של גאוס מתבססת על כך לשם פתרון מערכות של משוואות לינאריות; מביאים את המטריצה שמייצגת את המערכת למצב מדורג קנוני ממנו קל לקרוא את מרחב הפתרונות, שהוא אוסף הפתרונות למערכת.

דוגמה

נבחן את המטריצה $A={\begin{bmatrix}\,\,\,2&1&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$. מערכת המשוואות המתאימה היא:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&z&&\;=\;&&0\\-x&&\;\;&&&&\;\;&&&&\;=\;&&0\\\end{alignedat}}$

שפתרונה $(0,t,-t)$, כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות. על כן מרחב הפתרונות הוא הישר במרחב התלת ממדי העובר דרך $(0,1,-1)$ והראשית. ${\mbox{nullity}}(A)=1$, שכן ישר הוא חד-ממדי.