ממד (אלגברה לינארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האברים בבסיס של המרחב. משום כך, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר נקודות של המרחב, ובכך הוא מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית. לממד מהאלגברה הלינארית יש הכללות לתחומים רבים במתמטיקה.

מקובל לסמן את הממד של מרחב V מעל שדה F בסימון \ \dim(V); כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים \ \dim_F(V), ולפעמים גם \ [V \!:\! F]. הממד של מרחב וקטורי מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא: כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה. המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד. הממד קובע גם תכונות מסוימות של תת-מרחבים. למשל, אם V מרחב וקטורי מממד סופי ו-U תת-מרחב מאותו ממד, אז הם מוכרחים להיות שווים.

משפט הממדים קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם \ U,U' \subseteq V, אז \ \dim(U+U') = \dim(U)+\dim(U')- \dim(U\cap U').

הממד של מרחב הווקטורים \ F^n שווה ל-n, והממד של אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_n(F) הוא \ n^2.

הממד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים, והממד של המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים. גם הממד של מרחב ההעתקות הלינאריות \ \operatorname{Hom}(U,V) שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים. אם V מרחב וקטורי מעל שדה K שיש לו תת-שדה F, אז K מרחב וקטורי מעל F, והממדים מקיימים \ \dim_F(V) = [K\!:\!F]\dim_K(V). בפרט, אם \ F\subseteq K \subseteq L שדות, אז \ [L\!:\!F] = [L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק, למשל, שאי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את השורש השביעי של היחידה (או את הרכיב הממשי שלו, הקוסינוס של שני פאי חלקי 7 ) - כולן בעיות מפורסמות של ימי קדם.