דרגה (אלגברה ליניארית)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, דרגת העמודות של מטריצה מוגדרת להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי תלויים ליניארית מבין עמודות המטריצה. באופן דומה, דרגת השורות של היא ממד מרחב השורות שלה.

דרגת העמודות שווה תמיד לדרגת השורות של המטריצה, ולכן מקובל לקרוא לערך המשותף שלהן דרגת המטריצה ולסמנו .

הדרגה של מטריצה היא לכל היותר . מטריצה שדרגתה שווה לערך מקסימלי זה נקראת מטריצה מדרגה מלאה. מטריצה שדרגתה נמוכה יותר נקראת מטריצה מדרגה חסרה.

דרך פשוטה למצוא דרגה של מטריצה היא לדרג אותה לצורה הקנונית שלה ואז לספור את כל השורות שהן לא שורות אפסים. שיטה זו עובדת כיוון שפעולות שורה לא משפיעות על המרחב הנפרש של השורות (span) ולכן אחרי דירוג נוכל לראות בדיוק כמה שורות בלתי תלויות ליניארית זו בזו, זה ייתן את מימד מרחב השורות שזהו כמובן הדרגה של המטריצה.

כיוון שממד מרחב הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות קשור באופן ישיר בדרגה של המטריצה המייצגת אותה, ניתן להבין אינטואיטיבית את מושג הדרגה כמדד ל-"חוסר הניוון" של המערכת.

משפטים הקשורים לדרגה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • במטריצה מסדר :
    • דרגת המטריצה קטנה מ- אם ורק אם הדטרמיננטה שווה לאפס.
    • דרגת המטריצה שווה ל- אם ורק אם המטריצה מטריצה רגולרית (הפיכה).
  • הרכבה של מטריצה מסדר ומטריצה הפיכה ריבועית , לא משנה את דרגת המטריצה.
  • למערכת משוואות ליניאריות קיים פתרון, אם ורק אם דרגת מטריצת המקדמים שלה שווה לדרגת מטריצת המקדמים המצומצמת שלה.
  • יהי מרחב הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות הומוגנית A ב- משתנים, אז (משפט זה ידוע כ"משפט הדרגה")
  • אם ו- הם מרחבים וקטוריים מעל שדה ו- היא העתקה ליניארית, מגדירים את הדרגה של להיות הממד של התמונה שלה: . אם ו- הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים ו- היא המטריצה המייצגת של ביחס לבחירה כלשהי של בסיסים על ו-, אז מתקיים , ללא תלות בבסיסים שנבחרו. לכן במקרה הסוף-ממדי, דרגה של מטריצה ודרגה של העתקה ליניארית הם מושגים שקולים.
  • אי שוויון סילבסטר: אם A מטריצה מסדר m × n ו-B מסדר n × k אז:
  • בהינתן A ו-B שתי מטריצות מאותו סדר, אז