אופרטור צמוד

באלגברה לינארית והכללותיה, האופרטור הצמוד לאופרטור לינארי $\ T:V\rightarrow W$ הוא אופרטור לינארי אחר, $\ T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$. בנוכחות מכפלה פנימית האופרטור הצמוד הוא אופרטור $\ T^{*}:W\rightarrow V$. בפרט, פעולת ההצמדה מהווה אינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים של מרחב מכפלה פנימית.

המקרה הכללי

לכל מרחב וקטורי V מוגדר המרחב הדואלי $\ V^{*}$ של כל הפונקציונלים $\ V\rightarrow F$. אם $\ T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור $\ T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}$ המוגדרת לפי הכלל הפשוט $\ (T^{*}f)(v)=f(Tv)$; כלומר, $\ T^{*}$ פועל על פונקציונלים $\ f:W\rightarrow F$ על-ידי הרכבת T מימין.

פעולת הצמוד היא לינארית: אם $\ T,S:V\rightarrow W$ שתי העתקות לינאריות ו-$\ \alpha \in F$ הוא סקלר, אז $\ (T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}$ ו- $\ (\alpha T)^{*}=\alpha T^{*}$.

אם U,V,W מרחבים וקטוריים ו- $\ T:V\rightarrow W,\,S:W\rightarrow U$ העתקות, אז $\ ((ST)^{*}g)(v)=g(STv)=S^{*}g(Tv)=(T^{*}(S^{*}g))(v)$, ולכן $\ (ST)^{*}=T^{*}S^{*}$.

בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, $\ T^{**}:V^{**}\rightarrow W^{**}$, לפי $\ (T^{**}\varphi )(f)=\varphi (T^{*}f)$. כל מרחב וקטורי V משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, $\ V^{**}$, כאשר מפרשים וקטור v כפעולה $\ V^{*}\rightarrow F$ המוגדרת לפי $\ v(f)=f(v)$. תחת הפירוש הזה, $\ T^{**}$ מתלכד עם T בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש-$\ (T^{**}v)(f)=v(T^{*}f)=(T^{*}f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)$ לכל $\ f:W\rightarrow F$.

מרחבי מכפלה פנימית

כאשר מוגדרת על V מכפלה פנימית, היא מאפשרת לזהות את V עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור x מגדיר את הפונקציונל $\ f_{x}:y\mapsto (y,x)$. נניח שגם על W מוגדרת מכפלה פנימית משלו. אם $\ T:V\rightarrow W$ העתקה לינארית, אז לכל $\ w\in W$ ולכל $\ v\in V$ מתקיים $\ (v,T^{*}w)=(T^{*}f_{w})(v)=f_{w}(Tv)=(Tv,w)$. את השוויון $\ (v,T^{*}w)=(Tv,w)$ אפשר לקבל מלכתחילה כהגדרה של $\ T^{*}:W\rightarrow V$, והגדרה זו מתלכדת כאמור עם ההגדרה במקרה הכללי.

במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים שבה מתקיים $\ (x,\alpha y)={\bar {\alpha }}(x,y)$, הזיהוי של V עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: $\ (\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}$.

במקרה המיוחד V=W, הלינאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל $\ (ST)^{*}=T^{*}S^{*}$, הופכים את ההצמדה לאינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים $\ \operatorname {End} (V)$ (שאבריו הם כל ההעתקות הלינאריות מ-V ל-V).

אופרטורים מיוחדים

לכל אופרטור $\ T:V\rightarrow W$ בין מרחבי מכפלה פנימית יש משמעות להרכבות $\ TT^{*},T^{*}T$, ששתיהן העתקות $\ V\rightarrow V$, ולכן אפשר להשוות ביניהן. אם $\ TT^{*}=T^{*}T$ ההעתקה נקראת נורמלית. אם $\ TT^{*}$ היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה אורתוגונלית). אם $\ T^{*}=T$ ההעתקה היא הרמיטית.

מטריצות

בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה לינארית באמצעות מטריצה, על-ידי בחירת בסיס לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הוקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות: $\ A^{*}=({\bar {a_{ji}}})_{ij}$, כלומר שחלוף ואז הפעלת הצמוד המרוכב.