טופולוגיה דיסקרטית – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
שדרוג |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
ב[[טופולוגיה]], '''הטופולוגיה הדיסקרטית''' על קבוצה X, היא |
ב[[טופולוגיה]], '''הטופולוגיה הדיסקרטית''' על קבוצה X, היא [[טופולוגיה]] מנוונת במיוחד, המוגדרת כך שכל הקבוצות יהיו [[קבוצה פתוחה|פתוחות]]. במרחב כזה כל נקודה מהווה [[קשירות|מרכיב קשירות]]. את הטופולוגיה הדיסקרטית אפשר להגדיר באמצעות [[מטריקה]] מתאימה, הקרויה '''המטריקה הדיסקרטית''': תחת מטריקה זו, המרחק מנקודה לכל נקודה אחרת הוא תמיד 1. |
||
טופולוגיה זו היא אחת משתי המבנים הטופולוגיים הטריויאליים שתמיד ניתן להגדיר על קבוצה כללית X (יחד עם המרחב שבו רק X והקבוצה הריקה הן הקבוצות הפתוחות) וזו הטופולוגיה החזקה ביותר שאפשרית, כלומר כל טופולוגיה אחרת מוכלת בה. <br> |
|||
עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו. למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל [[אקסיומות ההפרדה]]; היא [[מרחב קומפקטי|קומפקטית]] בדיוק כאשר המרחב [[קבוצה סופית|סופי]]. בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמא, את [[טופולוגית זריצקי]] אפשר להגדיר על [[יריעה אלגברית]] על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומיאלית תהיה [[פונקציה רציפה|רציפה]], וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס. הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיאליות. |
|||
המרחב הדיסקרטי הוא [[מטריזבילי]] (לדוגמא ע"י ה[[מרחב מטרי|מטריקה]] <math>\ d(x,y)=1</math> לכל <math>x \ne y</math> שמכונה '''המטריקה הדיסקרטית'''). |
|||
הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמא קיצונית אחת למרחב טופולוגי. בעבר השני מצויה '''הטופולוגיה הטריוויאלית''', שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות. מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל. |
|||
[[קטגוריה: טופולוגיה]] |
[[קטגוריה: טופולוגיה]] |
||
גרסה מ־22:04, 13 ביוני 2006
בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית על קבוצה X, היא טופולוגיה מנוונת במיוחד, המוגדרת כך שכל הקבוצות יהיו פתוחות. במרחב כזה כל נקודה מהווה מרכיב קשירות. את הטופולוגיה הדיסקרטית אפשר להגדיר באמצעות מטריקה מתאימה, הקרויה המטריקה הדיסקרטית: תחת מטריקה זו, המרחק מנקודה לכל נקודה אחרת הוא תמיד 1.
עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו. למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל אקסיומות ההפרדה; היא קומפקטית בדיוק כאשר המרחב סופי. בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמא, את טופולוגית זריצקי אפשר להגדיר על יריעה אלגברית על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומיאלית תהיה רציפה, וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס. הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיאליות.
הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמא קיצונית אחת למרחב טופולוגי. בעבר השני מצויה הטופולוגיה הטריוויאלית, שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות. מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל.