חתך חרוט – הבדלי גרסאות
AutoIKhitron (שיחה | תרומות) |
AutoIKhitron (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
'''חתך חרוט''' (נקרא גם '''חתך קוני''') הוא ה[[צורה גאומטרית|צורה הגאומטרית]] המתקבלת כאשר [[מישור (גאומטריה)|מישור]] [[חתך (גאומטריה)|חותך]] [[חרוט]] (קונוס). צורת חתך החרוט תלויה ב[[זווית]] שבה המישור חותך את החרוט. |
'''חתך חרוט''' (נקרא גם '''חתך קוני''') הוא ה[[צורה גאומטרית|צורה הגאומטרית]] המתקבלת כאשר [[מישור (גאומטריה)|מישור]] [[חתך (גאומטריה)|חותך]] [[חרוט]] (קונוס). צורת חתך החרוט תלויה ב[[זווית]] שבה המישור חותך את החרוט. |
||
אם |
אם α היא הזווית שבין [[ציר סיבוב|ציר]] החרוט לקו היוצר שלו ו-β היא הזווית שבין ציר החרוט למישור החותך, אזי: |
||
{| |
{| |
||
| |
| |
||
* כאשר |
* כאשר β = 90°, מתקבל [[מעגל]] (אדום). |
||
* כאשר |
* כאשר β > α, מתקבלת [[אליפסה]] (סגול). |
||
* כאשר |
* כאשר β = α, מתקבלת [[פרבולה]] (ירוק). |
||
* כאשר |
* כאשר β < α, מתקבלת [[היפרבולה]] (כחול). |
||
[[מקרה מנוון|מקרים מנוונים]] מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך [[קודקוד]] החרוט: |
[[מקרה מנוון|מקרים מנוונים]] מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך [[קודקוד]] החרוט: |
||
* כאשר |
* כאשר β = 90° או β > α, מתקבלת [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] יחידה. |
||
* כאשר |
* כאשר β = α, מתקבל [[ישר]] יחיד (הוא הישר היוצר של החרוט). |
||
* כאשר |
* כאשר β < α, מתקבלים שני ישרים, ה[[חיתוך (גאומטריה)|חותכים]] זה את זה. |
||
| |
| |
||
[[קובץ:Secciones Conicas.png|250px]] |
[[קובץ:Secciones Conicas.png|250px]] |
גרסה מ־21:49, 21 באוגוסט 2016
חתך חרוט (נקרא גם חתך קוני) הוא הצורה הגאומטרית המתקבלת כאשר מישור חותך חרוט (קונוס). צורת חתך החרוט תלויה בזווית שבה המישור חותך את החרוט.
אם α היא הזווית שבין ציר החרוט לקו היוצר שלו ו-β היא הזווית שבין ציר החרוט למישור החותך, אזי:
מקרים מנוונים מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך קודקוד החרוט: |
כל אחד מחתכי החרוט ניתן לתיאור באמצעות משוואה אלגברית ממעלה שנייה. ולהפך: המקום הגאומטרי של הפתרונות למשוואה אלגברית ממעלה שנייה בשני נעלמים הוא חתך חרוט, או (במקרים מנוונים): זוג ישרים, ישר, נקודה או הקבוצה הריקה.
חתכי החרוט ניתנים להגדרה גם כמקומות הגאומטריים הבאים:
- אוסף הנקודות, הנמצאות במרחק קבוע מנקודה נתונה – הוא מעגל.
- אוסף הנקודות, שסכום מרחקיהן משתי נקודות נתונות הוא קבוע – הוא אליפסה.
- אוסף הנקודות, שמרחקן מנקודה נתונה שווה למרחקן מישר נתון – הוא פרבולה.
- אוסף הנקודות, שהפרש המרחקים שלהן משתי נקודות נתונות קבוע – הוא היפרבולה.
בגאומטריה פרויקטיבית, בהינתן שתי אלומות ישרים שביניהן התאמה פרויקטיבית, המקום הגאומטרי של חיתוך הישרים שמועתקים זה לזה הוא חתך חרוט.
חתכי חרוט בפיזיקה
חתכי חרוט מופיעים במכניקה כפתרונות האפשריים של בעיית קפלר.
ניוטון מצא כי מסלולם של כוכבי הלכת חייב להיות אחד מחתכי החרוט – מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה. הוא מצא כי אם כוכב לכת יגדיל בצורה מלאכותית את מהירותו עד כדי הגעה למהירות גבולית מסוימת, מסלולו יהפוך מאליפטי לפרבולי. אם מהירותו תהיה גבוהה עוד יותר מהמהירות הגבולית, מסלולו יהיה היפרבולי. הן המסלול הפרבולי והן המסלול ההיפרבולי הם מסלולים פתוחים – כלומר, גופים שינועו בהם יתרחקו מהשמש לבלי שוב.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- עמוס אלטשולר, חתכי החרוט בגישה סינתטית, (הוכחות קלאסיות לעקומים המתקבלים על ידי חתכי החרוט), על"ה - עלון למורי המתמטיקה, גיליון 9, ספטמבר 1991.
- מיכאל קורן, חתכי חרוט, הוכחה באמצעות תכונות הווקטורים