משפט האינטגרל של קושי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־16:54, 9 בינואר 2005

באנליזה מרוכבת, משפט אינטגרל קושי הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה על מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה רציפה על המסלול והולומורפית בציקלוס הומולוגי לאפס (נקרא גם תחום קושי) (ובפרט בתחום שסגור על ידי המסלול, אם תחום זה הוא פשוט קשר, כלומר אין בו "חורים"). הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה אנליטית.

בין התוצאות של משפט זה ניתן למנות תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמלי

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום קושי כך ש- $\ \partial U$ הוא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות וכן תהי $\ f(z):{\bar {U}}\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה רציפה על $\ \partial U$ והולומורפית ב- $\ U$ אזי $\oint _{\partial U}f(z)\,dz=0$ , כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט אינטגרל קושי''' הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה|פונקציות]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]]. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה על מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה הולומורפית על המסלול ובתחום שסגור על ידי המסלול, אם תחום זה הוא [[תחום פשוט קשר|פשוט קשר]], כלומר אין בו "חורים". הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה אנליטית.
+ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט אינטגרל קושי''' הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה|פונקציות]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]]. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה על מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה רציפה על המסלול והולומורפית ב[[ציקלוס]] [[הומולוגי לאפס]] (נקרא גם תחום קושי) (ובפרט בתחום שסגור על ידי המסלול, אם תחום זה הוא [[תחום פשוט קשר|פשוט קשר]], כלומר אין בו "חורים"). הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה אנליטית.
 בין התוצאות של משפט זה ניתן למנות תוצאות חשובות רבות, כגון [[נוסחת האינטגרל של קושי]], [[משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)|משפט ליוביל]], [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[משפט השארית (אנליזה מרוכבת|משפט השארית]] ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן [[פונקציה אנליטית|אנליטיות]] - כלומר, ניתן לפתח אותן ל[[טור טיילור]].
 ==ניסוח פורמלי==
-יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> תחום פשוט קשר במישור המרוכב, ותהא <math>\ f(z):U\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה מרוכבת הולומורפית בתחום זה. יהא <math>\ \gamma</math> מסלול סגור, פשוט ובעל אורך בתחום, אז מתקיים <math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>.
+יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך ש-<math>\ \partial U</math> הוא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות וכן תהי <math>\ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה רציפה על <math>\ \partial U</math> והולומורפית ב-<math>\ U</math> אזי <math>\oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 </math>, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.
-<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 </math>
-אם <math>\ U </math> אינו פשוט קשר אלא מכיל חורים, אז בהינתן שני מסלולים <math>\gamma_1,\gamma_2</math> שמקיפים את אותם חורים מתקיים <math>\oint_{\gamma_1} f(z)\,dz = \oint_{\gamma_2} f(z)\,dz </math>. באופן כללי, אינטגרל על מסלול שמקיף קבוצה כלשהי של חורים שווה לסכום של האינטגרלים של מסלולים שכל אחד מהם מקיף רק אחד מאותם חורים.
 [[en:Cauchy integral theorem]]