חשבון וריאציות

חשבון וריאציות הוא תחום במתמטיקה אשר עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציונלים, בניגוד לחשבון דיפרנציאלי רגיל אשר עוסק בפונקציות. פונקציונל הוא בדרך כלל מיפוי מקבוצה של פונקציות לשדה המספרים הממשיים. פונקציונלים לרוב מבוטאים כאינטגרלים מסוימים של פונקציות בלתי ידועות ונגזרותיהן. המטרה היא מציאת פונקציות אשר יביאו את הפונקציונל למקסימום או למינימום.

השיטה פותחה בשלהי המאה ה-17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויאקוב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים.

הדוגמה הפשוטה ביותר לבעיה כזו היא מציאת העקום בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות, אשר נקרא גאודיזה. במרחב אוקלידי הפתרון הוא קו ישר, אבל אם יש מגבלות על הפתרון, למשל שהקו יימצא על משטח כלשהו, הפתרון פחות ברור מאליו. בעיה קשורה היא עיקרון פרמה באופטיקה: האור עובר במסלולים בעלי מסלול אופטי מינימלי בין שתי נקודות (המסלול האופטי תלוי בתווך). עיקרון קשור במכניקה הוא עקרון הפעולה המינימלית.

בעיות חשובות רבות עוסקות בפונקציות בעלות משתנים מרובים. פתרון בעיות עם תנאי שפה למשוואת לפלס מקיימות את עיקרון דיריכלה. בעיית פלטיאו דורשת מציאת משטח בעל שטח מינימלי אשר עובר במתאר נתון במרחב. הפתרון לבעיה זו קשור לאופן היווצרות בועות סבון בעת טבילת מסגרת ברזל במי סבון. אף על פי שניסויים כאלו הם קלים לביצוע, התיאור המתמטי שלהם לעיתים סבוך: ישנם כמה פתרונות אפשריים ויכולה להיות להם טופולוגיה לא טריוויאלית.

אופי הבעיה

נביא את הבעיה המתמטית לצורה הבאה:

$\ S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left[y(x),{\frac {\partial y}{\partial x}},x\right]\,\mathrm {d} x$

עם תנאי השפה:

${\begin{cases}y(x_{1})=y_{1}\\y(x_{2})=y_{2}\end{cases}}$

מטרתנו היא למצוא את הפונקציה $y(x)$ אשר תביא את הפונקציונל לאקסטרמום.

מציאת הפונקציה המבוקשת מתבצעת על ידי פתרון משוואת אוילר־לגראנז':

$${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial ({\frac {\partial y}{\partial x}})}}\right]-{\frac {\partial L}{\partial y}}=0$$

דריבציה

נניח שקיים אקסטרמום לפונקציונל ושהפונקציה אשר מביאה אליו היא $y_{0}(x)$ . נוכל לבטא כל פונקציה בצורה $y(x)=y_{0}(x)+\epsilon \times \eta (x)$

כאשר $\eta (x)$ היא פונקציה כלשהי ובעלת תנאי השפה

$\eta (x_{1})=\eta (x_{2})=0$

כך ש$y(x)$ מקיימת את תנאי השפה

$\epsilon$ הוא מספר ממשי כלשהו.

נשים לב שתחת הנחותינו מתקיים: $S=S(\eta (X),{\frac {d\eta }{dx}},\epsilon )$ ויותר מכך, מתקיים: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=0$

נפתח את הביטוי למקסימה של הפונקציונל: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}={\frac {\partial S}{\partial y}}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {\partial y}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial S}{\partial {\frac {dy}{dx}}}}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {\partial {\frac {dy}{dx}}}{\partial \epsilon }}={\frac {\partial S}{\partial y_{0}}}\cdot \eta +{\frac {\partial S}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}\cdot {\frac {d\eta }{dx}}$

מכיוון שגבולות האינטגרל בפונקציונל אינם תלויים בε נוכל להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה. לאחר מכן נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:

${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}\cdot \eta +{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}\cdot {\frac {d\eta }{dx}}\,\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}})\cdot \eta \,\mathrm {d} x+{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}\cdot \eta |_{x_{1}}^{x_{2}}$

נזכור כי בנקודות הקצה הפונקציה השרירותית מתאפסת ולכן האיבר האחרון מתאפס. נקבל: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}})\cdot \eta \,\mathrm {d} x=0$

נשים לב כי גבולות האינטגרל שרירותיים, ולכן האינטגרנט חייב להתאפס. מכיוון שη היא פונקציה שרירותית ובאופן כללי שונה מפונקציית האפס, נקבל כי: ${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy}{dx}}}}=0$ וזו ידועה כמשוואת אוילר־לגראנז'.

הכללות

ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר לגראנז' באותה שיטה גם למקרים הבאים:

• פונקציונל של N פונקציות $q_{\!i}(t)$

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dq_{i}}{dt}}}}=0$ זהו סט של N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות $q_{\!i}(t)$

• פונקציונל של פונקציות הפועלות על מרחב ווקטורי $\xi ({\vec {r}})$

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial x}}}}+{\frac {d}{dy}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial y}}}}+{\frac {d}{dz}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial z}}}}-{\frac {\partial L}{\partial \xi }}=0$

דוגמאות

דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שלוקח לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי $\ {\vec {f}}(s)=(x(s),y(s),z(s))$ כאשר $\ (x,y,z)$ הן קואורדינטות ו-$\ s$ הוא פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה $\ {\vec {r}}=(x,y,z)$ במרחב היא $\ c({\vec {r}})$, ו-$\,s$ מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר, $\ T$, בין שתי הנקודות נתון בביטוי:

$$\ T=\int {\frac {ds}{c\left({\vec {r}}(s)\right)}}$$

מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר $\ T$, וחשבון הווריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם $\ T$ מינימלי, ולכן חשבון הווריאציות הוא הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.

דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון (המושג ברכיסטוכרון נגזר מהמילה היוונית ברכיסטוס שפרושה "הקצר ביותר"). הבעיה מוגדרת באופן הבא:

נתון חלקיק בשדה גרביטציה אחיד $\ g$ בכיוון $\ y$. בהנחה שבתחילת דרכו החלקיק נמצא בראשית הצירים במנוחה, מהו המסלול $\ y(x)$ עבורו זמן המעבר לנקודה מרוחקת (נמוכה יותר) הוא מינימלי?

כיוון שהקואורדינטה $\ y$ מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור אנרגיה קובע שמהירותו היא $\ v={\sqrt {-2gy}}$. לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הוא:

$$\ T=\int {\frac {\sqrt {1+({\frac {dy}{dx}})^{2}}}{\sqrt {-2gy(x)}}}\,dx$$

קישורים חיצוניים

• חשבון וריאציות, באתר MathWorld (באנגלית)