הצגה ליניארית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־04:43, 28 במרץ 2007

בתורת החבורות, הצגה לינארית היא הצגה של חבורה G כחבורה של מטריצות, באמצעות הומומורפיזם מן החבורה G לחבורה של ההעתקות הלינאריות של מרחב וקטורי מעל שדה כלשהו. את תורת ההצגות, העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח פרדיננד פרובניוס בסוף המאה ה-19, והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.

חבורה שיש לה הצגה נאמנה (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת חבורה לינארית.

שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות

באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם הפענוח נכשל (פונקציה "\mathoperator" לא מוכרת): {\displaystyle \ G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)} , כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- הפענוח נכשל (פונקציה "\mathoperator" לא מוכרת): {\displaystyle \ \mathoperator{GL}(V)} היא חבורת ההעתקות הליניאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מממד סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם חבורת המטריצות ההפיכות הפענוח נכשל (פונקציה "\mathoperator" לא מוכרת): {\displaystyle \ \mathoperator{GL}_n(F)} , ואז n הוא ממד ההצגה.

מהצגה נתונה אפשר ליצור הצגות שקולות, על-ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם הפענוח נכשל (פונקציה "\mathoperator" לא מוכרת): {\displaystyle \ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)} היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה $\ g\mapsto A\pi (g)A^{-1}$ היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.

כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על הסכום הישר $\ V\oplus W$ , בדרך של בניית מטריצות בלוקים: $\ g\mapsto {\begin{array}{cc}\pi _{1}(g)&0\\0&\pi _{2}(g)\end{array}}$ . הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת הצגה פריקה. הצגה שלא ניתן לפרק (על-ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת הצגה אי-פריקה. כל ההצגות האי-פריקות של חבורה אבלית סופית הן חד-ממדיות.

במקרים רבים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה.

הקרקטר של הצגה מממד סופי

אם הפענוח נכשל (פונקציה "\mathoperator" לא מוכרת): {\displaystyle \ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}_n(F)} היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה $\ \chi (g)=\operatorname {tr} (\pi (g))$ המוגדרת לפי חישוב העקבה של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא הקרקטר של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.

בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), גם ההיפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה (עד כדי שקילות).

באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו $\ h=xgx^{-1}$ עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.

הצגות של חבורה סופית

כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות (עד כדי שקילות); מספר ההצגות שווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת טבלת הקרקטרים של החבורה.

הצגות ואלגברת החבורה

יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין הצגות של אלגברת החבורה $\ F[G]$ , שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה $\ \operatorname {Hom} (V)$ של העתקות ליניאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V למודול מעל אלגברת החבורה (ולהיפך).

לפי משפט משקה, אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר למאפיין של F, אז אלגברת החבורה היא פשוטה למחצה, והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+ב[[תורת החבורות]], '''הצגה לינארית''' היא [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] G כחבורה של מטריצות, באמצעות [[הומומורפיזם]] מן החבורה G לחבורה של ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] של [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו. את '''תורת ההצגות''', העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח [[פרדיננד פרובניוס]] בסוף [[המאה ה-19]], והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.
-ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[תורת החבורות]], הצגה של [[חבורה]] G היא שלשה <math>\ (\pi,G,V)</math> כאשר G היא חבורה, V הוא [[מרחב וקטורי]] ו<math>\pi:G \mapsto GL(V)</math> היא [[הומומורפיזם]] של חבורות מG לחבורת ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] ההפיכות על V.
+חבורה שיש לה '''הצגה נאמנה''' (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת [[חבורה לינארית]].
+== שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות ==
+באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)</math>, כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \mathoperator{GL}(V)</math> היא חבורת ההעתקות הליניאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \mathoperator{GL}_n(F)</math>, ואז n הוא '''ממד ההצגה'''.
+מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על-ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.
+כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על ה[[סכום ישר|סכום הישר]] <math>\ V \oplus W</math>, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: <math>\ g \mapsto \begin{array}{cc} \pi_1(g) & 0 \\ 0 & \pi_2(g)\end{array}</math>. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת '''הצגה פריקה'''. הצגה שלא ניתן לפרק (על-ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת '''הצגה אי-פריקה'''. כל ההצגות האי-פריקות של [[חבורה אבלית]] סופית הן חד-ממדיות.
+במקרים רבים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה.
+== הקרקטר של הצגה מממד סופי ==
+אם <math>\ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}_n(F)</math> היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה <math>\ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g))</math> המוגדרת לפי חישוב ה[[עקבה (אלגברה לינארית)|עקבה]] של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא ה'''קרקטר''' של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.
+בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם ב[[חבורה קומפקטית]]), גם ההיפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות).
+באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו <math>\ h=xgx^{-1}</math> עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.
+== הצגות של חבורה סופית ==
+כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות); מספר ההצגות שווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת [[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]] של החבורה.
+== הצגות ואלגברת החבורה ==
+יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין [[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>\ F[G]</math>, שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה <math>\ \operatorname{Hom}(V)</math> של העתקות ליניאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל אלגברת החבורה (ולהיפך).
+לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
 [[קטגוריה:תורת החבורות]]
-{{קצרמר|מתמטיקה}}
 [[en:Group representation]]