שורה 1:
שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן)|אחר=פונקציית זטא של רימן|ראו=[[פונקציית זטא של רימן]]}}
{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן)|אחר=פונקציית זטא של רימן|ראו=[[פונקציית זטא של רימן]]}}
[[תמונה:200px-Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png|200px|left|thumb|פונקציית רימן בקטע (0,1)]]
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת כדלהלן:
'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת כדלהלן:
ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זטא של רימן, ראו
פונקציית זטא של רימן .
קובץ:200px-Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png פונקציית רימן בקטע (0,1) פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן ) (או פונקציית הסרגל ) היא פונקציה ממשית המוגדרת כדלהלן:
f
(
x
)
=
{
1
q
if
x
=
p
q
∈
Q
,
p
,
q
relatively prime integers
,
q
>
0
0
if
x
∉
Q
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{q}}&{\mbox{if }}x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} ,\quad p,q\ \ {\mbox{relatively prime integers}},q>0\\0&{\mbox{if }}x\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.}
כלומר, מניחים כי
p
/
q
{\displaystyle \ p/q}
שבר מצומצם.
(ב-
x
=
0
{\displaystyle \,x=0}
פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי , והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
הערה על שם הפונקציה שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:
פונקציית הסרגל
פונקציית הפופקורן
פונקציית תומה (Thomae's function) הוכחה נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית , ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.
יהי
x
0
=
p
q
∈
Q
{\displaystyle x_{0}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }
p
,
q
{\displaystyle \,p,q}
q
>
0
{\displaystyle \,q>0}
f
(
x
0
)
=
1
q
{\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{q}}}
f
{\displaystyle \,f}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
צפופה בישר הממשי , לכן יש סדרה
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
אי רציונלים המקיימת
x
n
→
x
0
{\displaystyle x_{n}\to x_{0}}
n
{\displaystyle \,n}
f
(
x
n
)
=
0
{\displaystyle \,f(x_{n})=0}
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
0
≠
f
(
x
0
)
=
1
q
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=0\neq f(x_{0})={\frac {1}{q}}}
רציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
כעת נניח ש-
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
רציפות לפי קושי. יהי
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \,\delta >0}
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
{\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }
N
{\displaystyle \,N}
0
<
1
N
<
ε
{\displaystyle 0<{\frac {1}{N}}<\varepsilon }
M
=
N
!
{\displaystyle \ M=N!}
עצרת ). מכיוון ש-
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
δ
>
0
{\displaystyle \ \delta >0}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
k
M
{\displaystyle \ {\frac {k}{M}}}
k
{\displaystyle \,k}
δ
{\displaystyle \ \delta }
x
∈
R
{\displaystyle \,x\in \mathbb {R} }
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \,|x-x_{0}|<\delta }
x
∉
Q
{\displaystyle \,x\notin \mathbb {Q} }
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,f(x)=0}
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
=
0
<
ε
{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|=0<\varepsilon }
x
=
r
=
p
q
{\displaystyle \ x=r={\frac {p}{q}}}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
δ
{\displaystyle \ \delta }
q
{\displaystyle \,q}
M
{\displaystyle \,M}
q
>
N
{\displaystyle \ q>N}
f
(
r
)
=
1
q
<
1
N
<
ε
{\displaystyle \ f(r)={\frac {1}{q}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon }
|
r
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \,|r-x_{0}|<\delta }
|
f
(
r
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |f(r)-f(x_{0})|<\varepsilon }
כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \,|x-x_{0}|<\delta }
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }
f
{\displaystyle \,f}
x
0
{\displaystyle \,x_{0}}
ראו גם 
