תאוצת הכובד

תאוצת הכובד של גוף היא קצב השינוי במהירותו כאשר הוא נמצא בנפילה חופשית בשדה כבידה.

תאוצת הכובד עומדת ביחס ישר למסת הגוף המחולל את שדה הכבידה אך היא אינה תלויה במסת הגוף הנופל. נהוג לסמן את תאוצת הכובד באות g, וערכה על פני השטח של כדור הארץ נע בין m/s²‏ 9.72 ל-m/s² ‏9.82 (מטר לשנייה בריבוע). עקב סיבוב כדור הארץ סביב צירו, עקב פחיסות כדור הארץ, ועקב הבדלים טופוגרפיים וגאולוגיים, ערכו של g על פני כדור הארץ שונה ממקום למקום בטווח האמור. יש לשים לב כי תאוצת הכובד מתייחסת לתאוצה הנגרמת על ידי כוח הכובד בלבד כשהיא חופשית מהתנגדות אוויר וגורמים אחרים.

גוף שעבר ממצב מנוחה למצב של נפילה חופשית בסמוך לפני כדור הארץ, יגיע לאחר השנייה הראשונה לנפילתו למהירות של כ-9.8 מטר לשנייה, בתום 3 שניות מהירותו תהיה גדולה פי שלושה, כלומר כ-29.4 מטר לשנייה, וכך הלאה. לאחר t שניות מהירותו תהיה כ-9.8t.

הנוסחה המלאה לחישוב תאוצת הכובד על פניו של גוף כדורי היא:

g={\frac {GM}{R^{2}}}

,

כאשר G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, M היא מסת הגוף המחולל את שדה הכבידה (לדוגמה - כדור הארץ) ו-R הוא המרחק ממרכז הכובד שלו. נוסחה זו נובעת ישירות מחוק הכבידה של ניוטון.

ערך תאוצת הכובד שהוזכר לעיל (m/s² ‏9.82) מתקבל מנוסחה זו אחר הצבת הערכים המתאימים כדלהלן:

ערכו של G, קבוע הכבידה האוניברסלי (מחושב ביחידות מטר, ק"ג, שנייה):

$6.6742\times 10^{-11}{\frac {m^{3}}{s^{2}kg}}$

ערכה של מסת כדור הארץ M (בקילוגרם):

$5.9736\times 10^{24}kg$

ערכו של R, רדיוס כדור הארץ ממרכזו ועד גובה פני הים (במטרים):

$6.37101\times 10^{6}m$

התוצאה היא:

$g={\frac {GM}{R^{2}}}={\frac {(6.6742\times 10^{-11}{m^{3} \over s^{2}kg})(5.9736\times 10^{24}kg)}{(6.37101\times 10^{6})^{2}m^{2}}}=9.823{\frac {m}{s^{2}}}$

גלילאו גליליי היה הראשון שטען כי אחר שזורקים גוף כלפי מעלה מהירותו הולכת ופוחתת בקצב קבוע, השווה לקצב בו היא גדלה כאשר הגוף נופל. שינוי המהירות מיוחס לכוח הפועל על הגוף, אותו זיהה אחר כך אייזק ניוטון ככוח הכובד. עד גלילאו נהוג היה לחשוב, כי לכל חומר יש "מצב טבעי", לדוגמה: המצב הטבעי של כדור הוא לנוע מטה כלפי כדור הארץ, או של הכוכבים לנוע בצורה מעגלית. גישה זו נתמכה על ידי אריסטו.

העובדה שתאוצת הנפילה החופשית איננה תלויה במסת הגוף הנופל אלא רק בעוצמת שדה הכבידה ידועה בשם "עקרון השקילות החלש" ועליה התבסס מאוחר יותר אלברט איינשטיין כאשר ניסח את "עקרון השקילות החזק" שהוא הבסיס לתורת היחסות הכללית. עקרון השקילות החלש נובע מהחוק השני של ניוטון. אמנם עוצמת הכוח המופעל על הגוף הנופל עומדת ביחס ישר למסתו, ולכן ככל שמסתו גדולה יותר יפעל עליו כוח גדול יותר, אך תאוצת הכובד שלו תישאר בלתי תלויה במסתו שכן ככל שמסתו של גוף גדולה יותר נדרש כוח גדול יותר להאצתו.

במהלך משימת אפולו 15 ניצל האסטרונאוט דייוויד סקוט את הריק השורר על פני הירח והדגים לעיני מיליוני צופים שזמן הנפילה אינו תלוי במסת הגוף הנופל. הוא הטיל בו-זמנית פטיש ונוצה והראה כיצד שני הגופים נוחתים בו-זמנית על קרקע הירח.^[1] ניסוי כזה ניתן להדגים גם על פני כדור הארץ אם יבוצע בסביבת ריק.^[2]

תאוצת הכובד כתלות בגובה

כוח הכבידה שווה בכל נקודה על פני גוף בעל מבנה כדורי מושלם.

מבנה כדור הארץ קרוב יותר לאליפסואיד מאשר לכדור, ופני כדור הארץ אינם מעטפת כדורית מושלמת, ויש בהם הרים ועמקים. לפיכך, על אדם הנמצא על הר הגבוה מפני הים פועל כוח כבידה נמוך יותר משהיה פועל עליו בגובה פני הים או בעמק, כתוצאה מכך שמרחק גופו ממרכז כדור הארץ גדול יותר.

את כוח הגרביטציה כתלות בגובה ניתן לתאר בעזרת הנוסחה:

{g_{h}}={g_{0}}\left({\frac {r_{e}}{r_{e}+h}}\right)^{2}={\frac {GM_{E}}{r^{2}}}

כאשר ${g_{h}}$ הוא ערך תאוצת הכובד בגובה h מעל פני הים, ${r_{e}}$ הוא הרדיוס הממוצע של כדור הארץ, ו-h הוא הגובה מעל פני הים. לדוגמה, ערך תאוצת הכובד נמוך בכ-0.03% על החרמון מאשר בתל אביב.

ערך תאוצת הכובד משתנה ממקום למקום גם כתוצאה מהבדלים בצפיפות הקרקע.

אנומליית כבידה

פער במיקום מסוים על פני כדור הארץ בין הערך הנמדד של הכבידה לבין הערך המחושב על בסיס המודל התאורטי מוגדר כאנומליית כבידה. אם כדור הארץ היה כדור מושלם עם צפיפות זהה, הרי שהכבידה הנמדדת הייתה זהה בכל מקום מדידה, באופן הניתן לחישוב באמצעות משוואה אלגברית פשוטה. עם זאת, כדור הארץ הוא בעל שטח פנים מחוספס והרכבו לא אחיד, כך ששדה הכבידה שלו מתעוות. הערך התאורטי של הכבידה יכול להיות מתוקן עבור גובה המדידה והשפעת השטח הקרוב, אך עדיין ימצאו הבדלים ביחס לערך הנמדד. אנומליית כבידה זו יכולה לגלות את מבני תת-הקרקע ואת צפיפותם. כך למשל, מסה של עפרה צפופה תחת פני השטח תוביל לאנומליה חיובית בגלל המשיכה המוגברת של העפרה.

מודלים תאורטיים שונים ינסו לחזות את הערכים השונים של הכבידה, ולכן אנומליית הכבידה מחושבת בהתאם למודל. אנומליית בוגה, אנומליית אוויר חופשי ואנומליית משיכה איזוסטזית מבוססות כל אחת על תיקונים תאורטיים שונים לערך הכבידה.

סקר כבידה מבוצע על ידי מדידה של אנומליות הכבידה במקומות רבים באזור שבו מתעניינים, תוך שימוש בכלי נייד בשם גרבימטר. ניתוח זהיר של מידע הכבידה מאפשר לגאולוגים להניח הנחות בדבר הגאולוגיה של תת-הקרקע.

שדה המודל והתיקונים

נקודת המוצא לשדה המודל היא אליפסואידית ההתייחסות הבינלאומית ( International Reference Ellipsoid) אשר ניתן להסיק ממנה עבור כל נקודה בכדור הארץ את הכבידה הנורמלית ${g_{n}}$ . התאמות נוספות של שדה המודל באות לידי ביטוי בתיקונים המוספים לכבידה הנמדדת או (בהתאמה) מוחסרים מהכבידה הנורמלית. כמינימום, אלו כוללים תיקוני טידאלים (גאות ושפל) - ${\Delta g_{tid}}$ , תיקון פני השטח (terrain correction) - ${\Delta g_{T}}$ ואת תיקון האוויר החופשי - ${\Delta g_{FA}}$ . תיקונים אחרים מוספים למודלי כבידה שונים. ההבדל בין הכבידה הנמדדת המתוקנת והכבידה הנורמלית היא אנומליית הכבידה.