תחום של פונקציה

פונקציה $f$ מ-$X$ ל-$Y$. קבוצת הנקודות באליפסה האדומה מייצגת את $X$, התחום של $f$.

במתמטיקה, תחום של פונקציה הוא קבוצת הערכים שהפונקציה יכולה לקבל כקלט. נהוג לסמן את התחום של הפונקציה $f$ על ידי $\operatorname {dom} (f)$, בעקבות המינוח האנגלי Domain, שמשמעותו בעברית תחום. המושג המשלים לתחום של פונקציה הוא טווח של פונקציה.

הגדרה

עבור פונקציה $f\colon X\to Y$, התחום של $f$ הוא $X$, והטווח שלה הוא $Y$. הגדרת התחום והטווח של הפונקציה היא חלק מהגדרת הפונקציה.

במקרה ש-$X$ ו-$Y$ הן תתי-קבוצות של $\mathbb {R}$, הפונקציה $f$ מגדירה גרף במערכת צירים קרטזית. כלומר, ניתן לשרטט את גרף הפונקציה $f$ על שני צירים אנכיים. במקרה זה, התחום מיוצג כהטלה של גרף הפונקציה על ציר ה-$x$.

בפונקציה $f\colon X\to Y$ הקבוצה $Y$ נקראת טווח, וקבוצת הערכים שהפונקציה מוציאה נקראת תמונה. התמונה היא תמיד תת-קבוצה של הטווח. אם הן שוות אז $f$ היא פונקציה על.

ניתן לצמצם כל פונקציה לתת-קבוצה של התחום שלה. אם $A\subseteq X$ הצמצום של $f\colon X\to Y$ ל-$A$, כאשר $A\subseteq X$ ייכתב כך: $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$.

תחום ההגדרה

הגרף של פונקציית השורש הריבועי הממשית $f(x)={\sqrt {x}}$. התחום שלה מורכב מכל המספרים הממשיים האי-שליליים.

לעיתים פונקציה אינה מוגדרת עבור כל ערכי התחום. למשל, כאשר פונקציה ממשית (שהטווח שלה הוא, על פי ההגדרה, קבוצת המספרים הממשיים) ניתנת על ידי נוסחה שלא מחזירה מספר ממשי עבור חלק מהאיברים בתחום. קבוצת האיברים שעליה הפונקציה מוגדרת (כלומר מחזירה ערך השייך לטווח) נקראת תחום ההגדרה.

לדוגמה: הפונקציה הממשית $f(x)={\frac {1}{x}}$ אינה מוגדרת בנקודה שבה $x=0$. וזאת משום שחלוקה ב0 אינה מוגדרת (חלוקה במספר $x$, על פי הגדרה, היא מכפלה בהופכי הכפלי של $x$ ,ול 0 לא קיים הופכי כפלי). לכן תחום ההגדרה של הפונקציה $f$ הוא קבוצת כל המספרים הממשיים למעט אפס, כלומר: $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ או $\{x\in \mathbb {R} |\ x\neq 0\}$.

בהקשרים רבים, נהוג לכנות פונקציה חלקית במונח הפשוט פונקציה, ותחום ההגדרה שלה נקרא התחום שלה.

אם הנוסחה מוגדרת רק לחלק מערכי התחום, נאמר שזו "פונקציה חלקית". "פונקציה" כזו, לא ניתן להפעיל על חלק מהערכים בתחום, מבלי להגיע לביטוי שאינו מוגדר.

דוגמאות

• הפונקציה המפוצלת $f$ המוגדרת על ידי $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$ תחום ההגדרה שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים ($\mathbb {R}$).
• תחום ההגדרה של פונקציית השורש הריבועי $f(x)={\sqrt {x}}$ הוא קבוצת המספרים האי שליליים, המסומנת על ידי $\mathbb {R} _{\geq 0}$ או הקטע $[0,\infty )$ או הקבוצה $\{x\in \mathbb {R} |\ x\geq 0\}$.
• לפונקציה הטריגונומטרית מסומנת $\tan(x)$, יש את תחום ההגדרה קבוצת כל המספרים הממשיים שאינם מהצורה ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ עבור $k$ מספר שלם כלשהו.

קישורים חיצוניים

• תחום של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית)