מיוריזציה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־12:35, 19 באפריל 2024

במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

הגדרה פורמלית

בהינתן מספר טבעי $d\in \mathbb {N}$ ווקטור $a\in \mathbb {R} ^{d}$ , אומרים כי $a$ הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל $1\leq i\leq n-1$ מתקיים ש- $a_{i}\geq a_{i+1}$ .

עבור זוג וקטורים $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ לא-עולים אומרים כי $a$ ממייר את $b$ ( $a$ או גובר על $b$ ) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

$\sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}$
לכל $1\leq k\leq d-1$ מתקיים כי $\sum _{i=1}^{k}a_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i}$

ומסמנים $a\succeq b$ .

עבור $a$ ו- $b$ כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי $a$ או גובר על $b$ אם ורק אם $a^{\downarrow }\succeq b^{\downarrow }$ כאשר $a^{\downarrow }$ ו- $b^{\downarrow }$ הם הוקטורים הנוצרים על-ידי סידור $a$ ו- $b$ בסדר לא-עולה בהתאמה.

הגדרות אלטרנטיביות

ניתן להוכיח כי בהינתן $d\in \mathbb {N}$ ו- $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ , $a\succeq b$ לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית $D\in \mathbb {R} ^{d\times d}$ כך ש- $b=Da$ .^[1]

כמו כן, ניתן להוכיח כי באופן שקול ניתן להגדיר כי $a\succeq b$ אם ורק אם ניתן לייצג את $b$ כצירוף קמור של תמורות על איברי $a$ . כלומר, קיימות מטריצות תמורה $P_{1},\dots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{d\times d}$ ומקדמים $c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R}$ כך ש-

$c_{i}>0$ לכל $1\leq i\leq k$
$\sum _{i=1}^{k}c_{i}=1$
$\sum _{i=1}^{k}c_{i}P_{i}a=b$

משמעות ההגדרה האחרונה היא ש- $b$ נמצא בתוך הפאון הרב-מימדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי $a$ .

הוכחת ההגדרה האחרונה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן.

יישומים

בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים $H$ ו- $'H$ נאמר כי $H$ גובר על $'H$ אם אוסף הערכים העצמיים של $H$ גובר על זה של $'H$ .

אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן פונקציה קמורה $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ושתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים a,b, מתקיים: a גובר על b אם ורק אם $\sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})$
אי-שוויון מוירהד: בהינתן $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ כך ש- $a\succeq b$ , לכל $x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}>0$ מתקיים: $\sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{b_{1}}x_{\sigma 2}^{b_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{b_{d}}}\leq \sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{a_{1}}x_{\sigma 2}^{a_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{a_{d}}}$ כאשר $S_{d}$ היא החבורה הסימטרית על $d$ .

קישורים חיצוניים

מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה מאת שי גירון ורן טסלר

הערות שוליים

^ Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, Springer Science & Business Media, 2013-12-01, ISBN 978-1-4612-0653-8. (באנגלית)

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "מיוריזציה".

[1] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, Springer Science & Business Media, 2013-12-01, ISBN 978-1-4612-0653-8. (באנגלית)

[1]

@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 עבור '''<math>a</math>''' ו-''<math>b</math>'' כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי '''<math>a</math>''' או גובר על ''<math>b</math>'' אם ורק אם <math>a^\downarrow\succeq b^\downarrow </math> כאשר '''<math>a^\downarrow</math>''' ו-''<math>b^\downarrow</math>'' הם הוקטורים הנוצרים על-ידי סידור '''<math>a</math>''' ו-''<math>b</math>'' בסדר לא-עולה בהתאמה.
+== הגדרות אלטרנטיביות ==
-==יישומים==
-* בהינתן שני וקטורים ממשיים <math>a,b \in \mathbb{R}^d</math>, <math>a</math> גובר על <math>b</math> אם קיימת [[מטריצה דו-סטוכסטית]] <math> D </math> כך שמתקיים <math>b=D \cdot a</math>. במקרה זה ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסתברויות <math>(p_1,p_2,\ldots,p_d), \sum_{i=1}^d p_i =1</math> וקבוצת [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] <math>(P_1,P_2,\ldots,P_d)</math> כך ש <math>b=\sum_{i=1}^d p_i P_i a</math>.
+ניתן להוכיח כי בהינתן <math>d\in \mathbb{N}</math> ו-<math>a,b \in \mathbb{R}^d</math>, <math>a\succeq b</math> לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת [[מטריצה דו-סטוכסטית]] <math>D\in\mathbb{R}^{d\times d}</math> כך ש-<math>b=Da</math>.<ref>{{צ-ספר|שם=Matrix Analysis|קישור=https://books.google.com/books?id=lh4BCAAAQBAJ&newbks=0&hl=en|מו"ל=Springer Science & Business Media|שנת הוצאה=2013-12-01|ISBN=978-1-4612-0653-8|מחבר=Rajendra Bhatia|שפה=en}}</ref>
+כמו כן, ניתן להוכיח כי באופן שקול ניתן להגדיר כי <math>a\succeq b</math> אם ורק אם ניתן לייצג את <math>b</math> כ[[צירוף קמור]] של [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] על איברי <math>a</math>. כלומר, קיימות [[מטריצת תמורה|מטריצות תמורה]] <math>P_1,\dots,P_k\in \mathbb{R}^{d\times d} </math> ומקדמים <math>c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}</math> כך ש-
+# <math>c_i> 0</math> לכל <math>1\le i\le k</math>
+# <math>\sum_{i=1}^k c_i = 1</math>
+# <math>\sum_{i=1}^k c_iP_ia = b</math>
+משמעות ההגדרה האחרונה היא ש-<math>b</math> נמצא בתוך ה[[פאון]] הרב-מימדי ה[[קבוצה קמורה|קמור]] הנוצר מתמורות על איברי <math>a</math>.
+הוכחת ההגדרה האחרונה מתבצעת באמצעות [[משפט בירקהוף-פון נוימן]].
+==יישומים==
 * בהינתן שני [[אופרטור הרמיטי|אופרטורים הרמיטיים]] <math>H</math> ו-<math>'H</math> נאמר כי <math>H</math> גובר על <math>'H</math> אם אוסף [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של <math>H</math> גובר על זה של <math>'H</math>.
 * '''[[אי-שוויון קאמאראטה]]:''' בהינתן [[פונקציה קמורה]]  <math>h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> ושתי סדרות של מספרים ממשיים [[מספרים חיוביים ושליליים|אי-שליליים]] ''a,b'', מתקיים: ''a'' גובר על ''b'' [[אם ורק אם]] <math>\sum_{i=1}^d h(a_i) \geq \sum_{i=1}^d h(b_i)</math>
+* [[אי-שוויון מוירהד]]: בהינתן <math>a,b \in \mathbb{R}^d</math> כך ש-<math>a\succeq b</math>, לכל <math>x_1,x_2,\dots,x_d> 0</math> מתקיים: <math>\sum_{\sigma\in S_d}{x_{\sigma 1}^{b_1}x_{\sigma 2}^{b_2}\cdots x_{\sigma d}^{b_d}}\le
+\sum_{\sigma\in S_d}{x_{\sigma 1}^{a_1}x_{\sigma 2}^{a_2}\cdots x_{\sigma d}^{a_d}}</math> כאשר <math>S_d</math> היא [[החבורה הסימטרית]] על <math>d</math>.
 ==קישורים חיצוניים==
@@ שורה 24: / שורה 37: @@
 * [https://web.archive.org/web/20070316111951/http://www.israelmo.com/books/etgar/48-4.pdf מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה מאת שי גירון ורן טסלר]
+== הערות שוליים ==
-{{ערך יתום}}
+{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}{{ערך יתום}}
 [[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]