היפרבולה

ערך זה עוסק במונח מתמטי. אם התכוונתם להיפרבולה בספרות, ראו הגזמה.

ההיפרבולה y=1/x

במתמטיקה היפרבולה הינה סוג של חתך חרוטי, המורכב משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

היפרבולה היא המקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

$\,A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0$

כאשר $\,B^2 > 4 AC$.

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר נתון (המכונה דירקטריקס) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכז הקטע שבין שני המוקדים.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים. היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות

מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז: $\,(h, k)$ )

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

$\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1$

בשתי משוואות אלה a הוא הציר הראשי ו-b הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש-b יהא גדול מ- a.

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

$(x-h)(y-k) = c \,$

משוואות האסימפטוטות הן:

$y = \frac{b}{a}x$

$y = - \frac{b}{a}x$

מערכת קואורדינטות קטבית

$r^2 =\ \ \, a\,\sec 2t$

$r^2 = -a\,\sec 2t$

$r^2 =\ \ \, a\,\csc 2t$

$r^2 = -a\,\csc 2t$

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

$x = a\,\cosh \theta;\; y = b\,\sinh \theta$

$x = a\,\tan \theta;\ \ y = b\,\sec \theta$

ראו גם

• זווית היפרבולית
• פונקציה היפרבולית
• מסלול היפרבולי
• מבנה היפרבולי

קישורים חיצוניים

• היפרבולה