היפרבולה

ערך זה עוסק במונח מתמטי. אם התכוונתם להיפרבולה בספרות, ראו הגזמה.

ההיפרבולה $y=\frac{1}{x}$

מציאת מרכז של היפרבולה

במתמטיקה, היפרבולה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

$\,A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0$

כאשר $\,B^2 > 4 AC$.

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר נתון (המכונה דירקטריקס) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה משמאל.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים. היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות המתארות היפרבולה

מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז: $\,(h, k)$ )

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

$\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1$

בשתי משוואות אלה a הוא הציר הראשי ו-b הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש-b יהא גדול מ- a.

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

$(x-h)(y-k) = c \,$

משוואות האסימפטוטות הן:

$y = \frac{b}{a}x$

$y = - \frac{b}{a}x$

מערכת קואורדינטות קטבית

$r^2 =\ \ \, a\,\sec 2t$

$r^2 = -a\,\sec 2t$

$r^2 =\ \ \, a\,\csc 2t$

$r^2 = -a\,\csc 2t$

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

$x = a\,\cosh \theta;\; y = b\,\sinh \theta$

$x = a\,\tan \theta;\ \ y = b\,\sec \theta$

ראו גם

• זווית היפרבולית
• פונקציה היפרבולית
• מסלול היפרבולי
• מבנה היפרבולי

קישורים חיצוניים

• היפרבולה