חוק הדיפוזיה של פיק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוקי הדיפוזיה של פיק מתארים את תופעת הדיפוזיה. ניתן להשתמש בהם לקביעת מקדם הדיפוזיה של חומר (\ D).

ב-1855 פרסם לראשונה הפיזיולוג אדולף פיק שני חוקים המתארים את תנועתו של חומר המיוחסת למנגנון הדיפוזיה. עבודתו של פיק הושפעה מהניסויים שביצע הכימאי תומאס גרהאם. הניסויים שביצע פיק עסקו במדידת ריכוזים ושטפים של מלח, המפעפע בין שני מאגרים דרך צינורות מים. עבודתו של פיק התרכזה בדיפוזיה בנוזלים, משום שבאותה תקופה דיפוזיה של מוצקים לא נחשבה לאפשרית ‏[1]. כיום, חוקיו של פיק נמצאים בלב ההבנה של תופעת הדיפוזיה במוצקים, בנוזלים ובגזים גם יחד. חשיבותם של החוקים מתחדדת לאור ההבחנה בין "תהליכים פיקיים" - שהם תהליכי דיפוזיה המצייתים לחוק פיק - ובין "תהליכים לא פיקיים" - שהם אינם כאלו.

החוק הראשון של פיק[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוק זה קובע כי הקשר בין השטף של חומר מסוים לריכוז שלו הוא קשר של נגזרת - השטף עומד ביחס ישר לגרדיאנט (נגזרת מרחבית) של הריכוז. במערכת בעלת ממד אחד נקבל:

J = - D \frac{\partial \phi}{\partial x}

כאשר \ J הוא השטף הדיפוזיוני של כמות החומר, \ D הוא קבוע הדיפוזיה, \ \phi הוא ריכוז החומר כתלות במקום, ו-\ x הוא המיקום.

במערכות בהן ריכוז החומר משתנה במספר ממדים, יש צורך להשתמש בפונקציות \ \nabla אשר מכלילה את הנגזרת הראשונה ולקבל: J=\ -D\nabla \phi , כאשר \ \nabla \phi הוא הגרדיאנט של הריכוז.

קבוע הדיפוזיה \ D מתכונתי למהירות החלקיקים הדיפוזיוניים. מהירות החלקיקים תלויה בטמפרטורה, בצמיגות הנוזל ובגודל החלקיקים (על פי משוואת איינשטיין-סטוקס). בתמיסות מהולות, קבוע-הדיפוזיה של מרבית היונים דומה ונע בטמפרטורת החדר בתחום שבין 0.6x10-9 ובין 2x10-9 m2/s. עבור מולקולות ביולוגיות דוגמת חלבונים קבוע הדיפוזיה נע בין 10-11 ובין 10-10 m2/s.

הכוח המניע של הדיפוזיה במערכת דיפוזיה חד-ממדית מבוטא על ידי:  - \frac{\partial \phi}{\partial x}

בתמיסה אידאלית ביטוי זה מבטא את מפל הריכוזים. בתמיסות שאינן אידאליות או בתערובות, הכוח המניע לדיפוזיה של כל צורון הוא מפל הריכוזים של אותו צורון. במקרה כזה חוק הראשון של פיק (בממד אחד יכול להיכתב כ:J_i = - \frac{D c_i}{RT} \frac{\partial \mu}{\partial x_i}.

כאן האינדקס i מסמל את הצורון המסוים, c הוא הריכוז, R הוא קבוע הגזים, T היא הטמפרטורה ו-μ הוא הפוטנציאל הכימי.

החוק השני של פיק[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משוואת הדיפוזיה

החוק השני של פיק מתאר מערכות שבהן ריכוז של חומר משתנה בזמן. ניסוחו:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\,\!

כאשר \ \phi הוא ריכוז החומר, \ t הוא הזמן, \ D הוא קבוע הדיפוזיה ו-\ x הוא המיקום. ניתן לגזור את החוק השני של פיק מתוך החוק הראשון תוך שימוש במשוואת רציפות:

\frac{\partial \phi}{\partial t} =-\,\frac{\partial}{\partial x}\,J = \frac{\partial}{\partial x}\bigg(\,D\,\frac{\partial}{\partial x}\phi\,\bigg)\,\!

בהנחה שקבוע הדיפוזיה D אינו משתנה במרחב, ניתן לקבל את ניסוחו של חוק פיק השני, כפי שמופיע בראשית הפסקה.

במקרה הכללי בו הדיפוזיה איננה חד-ממדית אלא בעלת שני ממדים או יותר, החוק ינוסח בעזרת אופרטור הלפלסיאן:

\frac{\partial \phi}{\partial t} =  \nabla \cdot (\,D\,\nabla\,\phi\,)\,\!

כאשר קבוע הדיפוזיה קבוע במרחב, המשוואה הדיפרנציאלית תצטמצם לצורה הפשוטה יותר: \frac{\partial \phi}{\partial t} = D\,\nabla^2\,\phi\,\!.

דוגמה חשובה היא המקרה שבו \ \phi נמצא בשיווי משקל. במקרה כזה הריכוז איננו משתנה עם הזמן ולכן כל האגף השמאלי במשוואה שווה לאפס. במערכת המתוארת כבעלת ממד אחד כאשר קבוע הדיפוזיה \, D הוא קבוע, הפתרון לריכוז הוא לינארי (תלות לינארית של הריכוז במיקום). בשני ממדים או יותר מתקבלת משוואת לפלס:  \nabla^2\,\phi =0\!, שהפונקציות המקיימות אותה נקראות פונקציות הרמוניות.

דוגמה לפתרון במימד אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]

נדגים את המקרה של דיפוזיה משתנה בזמן במימד אחד (ציר x, בלי הגבלת הכלליות), של חומר שריכוזו נתון על ידי \ n(x,t) ממשטח גבול הממוקם ב-\ x=0, כאשר הריכוז על הגבול מוחזק בגודל קבוע \ n(0) (חומר חצי-אינסופי). הפתרון למקרה זה הוא:

n \left(x,t \right)=n(0)  \mathrm{erfc} \left(\begin{matrix}\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\end{matrix}\right)

erfc היא פונקציית השגיאה המשלימה. הגודל \ 2 \sqrt{Dt} נקרא אורך הדיפוזיה, והוא גודל אופייני הקשור לעומק שאליו פעפע החומר בזמן t.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]