מישור פרויקטיבי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מישור פרויקטיבי הוא מערכת של נקודות וישרים, המקיימת אקסיומות מסוימות. האקסיומות, המונחות ביסודה של הגאומטריה הפרויקטיבית, דומות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, פרט לזה שבמקום אקסיומת המקבילים מניחים שכל שני ישרים נפגשים בנקודה. המישור הפרויקטיבי הוא דו-ממדי; ההכללה לממד גבוה נקראת מרחב פרויקטיבי. מישורים ומרחבים פרויקטיביים הם בין המערכות החשובות בגאומטריית חילה.

אם מסירים ממישור פרויקטיבי את אחד הישרים, מתקבל מישור אפיני; ולהיפך, אפשר להפוך מישור אפיני למישור פרויקטיבי על ידי הוספת "הישר באינסוף", שהנקודות שלו הן הכיוונים במישור האפיני.

מישורים פרויקטיביים סופיים הם אובייקט חשוב בקומבינטוריקה. הם נלמדו בכלים מתורת החבורות, בעיקר מתחילת שנות ה-60 של המאה העשרים.

הגדרה אקסיומטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת של נקודות וישרים היא מישור פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות עובר ישר יחיד, כל שני ישרים נפגשים בנקודה, ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות.

המישור הקלאסי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכל שדה F אפשר לבנות מישור פרויקטיבי, אותו מסמנים ב-\ F\mathbb{P}^2, באופן הבא. הנקודות הן תת-המרחבים החד-ממדיים במרחב הווקטורי התלת-ממדי \ F^3, והישרים הם תת-המרחבים הדו-ממדיים; נקודה נמצאת על ישר אם המרחב המתאים לה מוכל במרחב המתאים לו. באופן כזה, כל נקודה אפשר להציג באמצעות שלשת קואורדינטות \ [x_1:x_2:x_3], המתפרשת כווקטור \ (a,b,c) עד כדי כפל בסקלר. למשל, הנקודה \ [1:0:0] = [5:0:0] נמצאת על הישר \ x_2=x_3.

למרות שזו בלי ספק הבנייה החשובה ביותר למישור פרויקטיבי, יש מישורים רבים אחרים, ובעיית המיון השלמה אינה פתורה אפילו במקרה הסופי.

חבורת הסימטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימטריות של מישור פרויקטיבי נקראות קולינאציות (collineations). קולינאציה היא תמורה של הנקודות במישור, המגדירה גם תמורה על הישרים (היינו התמונה של קבוצת הנקודות על ישר היא קבוצת הנקודות על ישר). קולינאציה a נקראת מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (ישר שכל נקודותיו נשמרות). מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר. אוסף הקולינאציות \ G(p,H) עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב-\ G(p,H) נקבעת על ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-\ H \cup \{p\}.

לדוגמה, חבורת הסימטריות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי \ F\mathbb{P}^2 היא חבורת המטריצות \ \operatorname{PGL}_3(F). כל קולינאציה מרכזית של \ F\mathbb{P}^2 צמודה לאחת המטריצות \ (1) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) או \ (t) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) (במקרה הראשון המרכז \ Fe_1 שייך לציר \ Fe_1+Fe_2, ובשני המרכז \ Fe_1 אינו שייך לציר \ Fe_2+Fe_3). חבורות הקולינאציה הן \ (1) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & * \\ 0 & 1 \end{array}\right) \cong F^+ ו- \ (*) \oplus \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \cong F^*, בהתאמה.

ישר L במישור פרויקטיבי P נקרא ישר הזזה אם יש חבורת סימטריות של המישור המייצבת את כל הנקודות ב-L, ופועלת רגולרית על הנקודות מחוץ ל-L. מישור שכל הישרים שלו הם ישרי הזזה נקרא מישור Moufang.

מישורים פרויקטיביים סופיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מישור פרויקטיבי הוא סופי אם קבוצת הנקודות שלו סופית (זה שקול לכך שקבוצת הישרים סופית, וגם לכך שעל אחד הישרים יש מספר סופי של נקודות).

כל מישור פרויקטיבי סופי הוא מערכת שטיינר מן הצורה \ S(2,n+1,n^2+n+1).

הסדר של מישור פרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במישור פרויקטיבי נתון, יש על כל ישר אותו מספר נקודות, וזה גם מספר הישרים העוברים דרך כל נקודה. למעשה, אם על ישר יש n+1 נקודות, אז מספר הנקודות במישור הוא \ n^2+n+1. מישור כזה הוא מסדר n.

את ההתאמה בין שני ישרים אפשר לראות באופן הבא.

  • נניח שעל הישר \ l נמצאות בדיוק n+1 נקודות. לכל ישר \ l' \ne\ l אפשר לבחור נקודה \ Q שאינה על שני הישרים, ולהגדיר העתקה מ-\ l ל-\ l' על ידי חיתוך הישר העובר דרך \ Q ו-\ p_i כלשהי, עם הישר \ l' . העתקה כזו היא הפיכה, ולכן מספר הנקודות על \ l ועל \ l' שווה. מכאן רואים, שבכל ישר במרחב ישנו אותו המספר של נקודות.
  • בהינתן נקודה P וישר \ l שאינו עובר דרכה, כל נקודה \ Q \in\ l משרה ישר יחיד העובר דרך \ P ו-\ Q . מכאן שמספר הנקודות על l שוה למספר הישרים העוברים דרך \ P . בפרט, דרך כל הנקודות במרחב עובר אותו מספר ישרים.
  • נבחן את מספר הנקודות במרחב פרויקטיבי כלשהו מעל שדה סופי. נסמן ב-\ n+1 את מספר הנקודות הנמצאות על כל ישר (שהוא גם מספר הישרים העובר דרך נקודה כלשהי). נבחר נקודה \ P כלשהי ונצייר את כל הישרים העוברים דרכה - ישנם \ n+1 כאלו. כאמור, בכל ישר כזה ישנן \ n+1 נקודות. מכיוון של-\ n הישרים ישנה נקודה המשותפת לכולם, היא \ P , נקבל סה"כ \ n^2+n+1 נקודות. מכיוון שדרך כל נקודה במישור עובר ישר החותך את \ P , קבלנו שזהו מספר הנקודות במישור.
  • שיקול דומה יראה כי מספר הישרים במישור שוה למספר הנקודות במישור.

המישור הפרויקטיבי מסדר 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מישור פאנו (אינו ניתן לשיכון במישור האוקלידי)

במישור הפרויקטיבי הקטן ביותר יש \,2^2+2+1=7 נקודות. יש רק מישור אחד כזה - מישור פאנו (ע"ש המתמטיקאי ג'ינו פאנו), המתואר בציור שמשמאל.

סדרים אפשריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המישור הקלאסי מעל שדה סופי מספק מישור פרויקטיבי מסדר n, לכל n שהוא חזקת-ראשוני (לכל סדר כזה יש מישור קלאסי אחד, משום שכל השדות מאותו סדר איזומורפיים). עד לסדר 8, זוהי הבנייה היחידה למישור פרויקטיבי; אבל יש 4 מישורים שונים מסדר 9, ולפחות 22 מסדר 16 [1]. משערים שהסדר של כל מישור פרויקטיבי הוא חזקת ראשוני, ואכן אפשר להוכיח שאין מישורים פרויקטיביים מסדר 6 או 14. עם זאת, לא ידוע האם קיים מישור פרויקטיבי מסדר 10.

השקילות למערכת אורתוגונלית של ריבועים לטיניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוג ריבועים לטיניים \ (a_{ij}), (b_{ij}), בגודל n-על-n, הם אורתוגונליים, אם הזוגות \ (a_{ij},b_{ij}) שונים זה מזה. נראה שמישור פרויקטיבי שקול למערכת של n-1 ריבועים לטיניים בגודל n-על-n שהם אורתוגונליים בזוגות. כלומר, קיים מישור פרויקטיבי מסדר n אם ורק אם קיימים \ n-1 ריבועים לטיניים מאונכים בזוגות מסדר n.

נניח שנתונה מערכת כזו של ריבועים לטיניים. הנקודות תהיינה המשבצות בלוח n-על-n, הריבועים הנתונים, וכן "נקודת השורות" ו"נקודת העמודות". עבור כל ריבוע לטיני, וכל ערך שמופיע בו, נגדיר "ישר" שיכלול את כל הנקודות שמייצגות את המשבצות בהן מופיע הערך, וכן את הנקודה שמייצגת את אותו ריבוע לטיני. עבור כל שורה או עמודה בלוח הריבועי, נגדיר "ישר" של כל המשבצות בה, ונקודת השורות או נקודת העמודות, בהתאמה. לסיום נגדיר "ישר" אחרון, שיכלול את כל הנקודות שמייצגות ריבועים לטיניים, יחד עם נקודת השורות ונקודת העמודות. קל לראות שנקודות וישרים אלה מהווים מישור פרויקטיבי סופי מסדר n.

מישורים סימטריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מיון המישורים הפרויקטיביים נעשה בשכבות: ככל שמניחים סימטריות חזקה יותר, כך נעשה המיון מדויק יותר. מתברר שחבורת הסימטריות פועלת על קבוצת הנקודות במישור באופן טרנזיטיבי, 2-טרנזיטיבי או רגולרי (=טרנזיטיבי בחדות) אם ורק אם היא פועלת באותו אופן על אוסף הישרים. נסמן \ N = n^2+n+1.

תיאור לפי קבוצות הפרֶשים[עריכת קוד מקור | עריכה]

יש משפחה רחבה של מישורים פרויקטיביים הנמצאים בהתאמה לקבוצות הפרשים של חבורות. קבוצה D של אברים בחבורה G נקראת קבוצת הפרֶשים אם כל איבר בחבורה אפשר להציג באופן יחיד כמנה \ xy^{-1} עבור \ x, y\in D. כל חבורה G (מסדר > 3) עם קבוצת הפרשים D מגדירה מישור פרויקטיבי באופן הבא: הנקודות והישרים נמצאים בהתאמה לאברי G, והנקודה המתאימה ל-a נמצאת על הישר המתאים ל-b, אם ורק אם \ ab^{-1} \in D. מן הבניה יוצא ש-G פועלת רגולרית על הנקודות (והישרים) של המישור הזה. בכיוון ההפוך, אם G פועלת רגולרית על הנקודות במישור P (חבורה כזו נקראת חבורת זינגר), אז לכל נקודה p וישר \ \ell, \ \{g \in G : g(p) \in \ell\} מהווה קבוצת הפרשים של G; המישור המתאים לקבוצת ההפרשים הזו איזומורפי ל-P.

פעולה פרימיטיבית על הנקודות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-P הוא מישור לא קלאסי מסדר n, שיש חבורה G הפועלת פרימיטיבית על הנקודות שלו. אז n זוגי, N ראשוני, וסדר החבורה מחלק את \ nN או את \ (n+1)N.

פעולה טרנזיטיבית על הדגלים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-P הוא מישור לא קלאסי מסדר n, שיש חבורה G הפועלת טרנזיטיבית על הדגלים שלו (דגל הוא זוג הכולל נקודה וישר העובר דרכה). זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם, משום שכל חבורה הפועלת טרנזיטיבית על הדגלים פועלת פרימיטיבית על הנקודות. אז n מתחלק ב-8 אבל אינו חזקה של 2, ו-N ראשוני. נוסף לזה, פעולת G על הדגלים היא חדה (לכן היא מסדר \ (n+1)N), ובפעולתה על הנקודות G היא חבורת פרובניוס והיא מכילה תת-חבורה נורמלית (ציקלית) מסדר N שפעולתה על הנקודות רגולרית. כך אפשר לתאר מישור כזה באמצעות קבוצת הפרשים, כפי שהוסבר לעיל.

פעולה 2-טרנזיטיבית על הנקודות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולה 2-טרנזיטיבית על הנקודות היא טרנזיטיבית על הדגלים. ההנחה שקיימת פעולה כזו היא חזקה ביותר: אם יש חבורה הפועלת 2-טרנזיטיבית על הנקודות, אז המישור הוא קלאסי (זוהי תוצאה של משפט דומה על מישורים אפיניים, בצירוף העובדה שכל מישור Moufang סופי הוא קלאסי). ואכן, חבורת הסימטריות של המישור הקלאסי פועלת על הנקודות באופן 2-טרנזיטיבי (פעולה 3-טרנזיטיבית אינה אפשרית משום ששלוש נקודות על ישר אחד מוכרחות להשאר על ישר אחד).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Finite flag-transitive projective planes: a survey and some remarks; Koen Thas, Discrete Mathematics 266 (2003), 417--429.