משוואת החום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: כתוב כמו דף מספר לימוד, ללא הסבר אמיתי של המושג, חשיבותו ושימושיו.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
תצוגה גרפית לפתרון משוואת הולכת החום בממד אחד. (לחצו כאן לאנימציה)

משוואת החום (או משוואת הולכת החום וכן משוואת הדיפוזיה) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב.

כמשוואה דיפרנציאלית חלקית, ניתן להגדיר פונקציה או משטח u ולו תנאי שפה ותנאי התחלה מתאימים, כלומר: מהם מקורות החום בזמן t=0 (תחילת התהליך) ומהם מקורות החום הקבועים על שפות הפונקציה. לאחר מכן, על ידי פתרון משוואת החום, ניתן לדעת מהו פילוג החום המתקבל בזמן עתידי כלשהו לפי הצורך.

לדוגמה, אם נרצה לתאר את פילוג החום עבור לוח בגודל L\times L אשר בצלעו הימנית נמצא מקור חום קבוע, וברגע t=0 בפינה השמאלית העליונה ישנו מקור חום נקודתי, ראשית נגדיר את המשטח u(x,y,t). כעת נציב את תנאי השפה u(L,y,t)=h ואת תנאי ההתחלה u(x,y,0)=\delta(x,y) כאשר h הוא עצמת מקור החום הקבוע ו-\delta(x,y) הינה פונקציית דלתא של דיראק. עם קבלת פתרון המשוואה, נוכל למשל לדעת מהו פילוג החום ברגעים t=1, t=2, וכן הלאה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בצורתה המלאה, המשוואה נכתבת כך:

\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( k(u,\vec{r}) \, \nabla u(\vec{r},t) \bigg) , כאשר:

בדרך כלל מתייחסים למקדם הדיפוזיה כאל קבוע, ואז אפשר לכתוב:

\frac{\partial u}{\partial t} = k\nabla^2 u (\vec{r},t),

במערכת צירים קרטזית משוואת הולכת החום

{\partial u\over \partial t} =
k \left({\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 } +
{\partial^2 u\over \partial z^2 }\right)
 = k ( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} ) \quad

כאשר \ u=u(x,y,z,t) היא פונקציית הטמפרטורה, ו- α הוא מקדם הדיפוזיה תרמית , של החומר.



פתרון כללי לממד אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]

פתרון המשוואה, בממד אחד, על ידי הפרדת משתנים הוא:

 \ u(t,x) = X(x) T(t). \quad


\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \quad


שני הצדדים של המשוואה הם משוואות התלויות במשתנים שונים, לכן הם חייבים להיות שווים לקבוע מספרי. הקבוע חייב להיות שלילי מכיוון שאחרת הטמפרטורה תגיע לאינסוף, ונסמנו λ²-. הפתרון הסופי המתקבל הוא:

T(t) = A e^{-\lambda^2 k t} \quad

ו

X(x) = B \sin(\lambda \, x) + C \cos(\lambda \, x).


את הפרמטר λ נקבל מתנאי השפה של הבעיה, והמשך הפתרון על ידי טור פורייה.

דוגמה לאילוץ תנאי התחלה ושפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניקח מוט באורך L, המבודד כולו פרט לקצה אחד שלו, שם הוא מוחזק בטמפרטורה קבועה. התנאים שנקבל:

  • תנאי התחלה: בזמן t=0 כל המוט בטמפ' החדר:   u(0,x) = T_{0}
  • תנאי שפה א': הטמפרטורה במקום x=0 קבועה תמיד:   u(t,0) = T_{max}
  • תנאי שפה ב': כל המוט מבודד, כך שנוכל לכתוב לגבי קצה המוט:   {\partial u\over \partial x}(t,L) = 0

מכיוון שבמשוואה הגדלים דיפרנציאליים, נוכל לבחור את נקודת האפס כרצוננו. נבחר את נקודת האפס של הטמפרטורה ב-  T_{max} . למרות שהטמפרטורה במוט תמיד שלילית בסקלה זו, היא הטובה ביותר להתייחס בה לבעיה. נאלץ את תנאי שפה א':

u(t,0) = A e^{-\lambda^2 k t} * C = 0 \quad

אילו A היה שווה ל-0 היה מתקבל הפתרון הטריוויאלי אשר אין לנו עניין בו.

ומכאן:

C = 0 \quad

נאלץ את תנאי ב':

 {\partial u\over \partial x}(t,L) = D e^{-\lambda^2 k t} \cos(\lambda \, L) = 0

כאשר D כולל בתוכו מספר פרמטרים שהיו קודם.

ונקבל כי λ יכול להיכתב בסדרה של ערכים אפשריים:

\lambda \,_{n} = {\pi \, \over L} (n + \frac{1}{2})

מכאן שגם הפרמטר החופשי A יכול להיות מספר ערכים אפשריים, נקבל:

 u(t,x) = \sum_{n=0}^\infty A_{n} e^{-\lambda_{n}^2 k t} \ \sin(\lambda_{n} \, x)

כשנשאר לנו למצוא את An. נאלץ את תנאי השפה באמצעות טור פורייה, וכפל בפונקציה \sin(\lambda_{m} \, x) עבור מספר שלם כלשהו m. אחרי ביצוע אינטגרל על כל המוט, נקבל:

 A_{n} = \frac{4 \ (T_{0}-T_{max})}{\pi \,  (2n + 1)}

כך שהפתרון למקרה אחרי אילוץ כל התנאים הוא:

 u(t,x) = T_{max} - \frac{4 \ (T_{max} - T_{0})}{\pi} \ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \ \sin \left( \pi \ (n+\frac{1}{2}) \ \frac{x}{L} \right) \ \exp \left( -\frac{k \ \pi^{2}}{L^{2}} \ (n+\frac{1}{2})^{2} \ t \right)


משוואת הדיפוזיה בעיבוד תמונה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף לשימוש הקלאסי עבור זרימת חום בחומר, משוואת החום (או משוואת הדיפוזיה) משמשת בגרסתה הבסיסית או בגרסאות מוכללות בתחומים רבים. ניתן להראות כי עבור תנאי שפה מסוימים, פתרון משוואת החום הינו גרעין החלקה גאוסיאני בעל שונות הגדלה עם הזמן. דבר זה הופך את המשוואה רלוונטית לתחום של עיבוד תמונה, שכן כאשר מתייחסים לתמונה כמשטח מתאים, מקבלים כי הפעלת משוואת הדיפוזיה משמעותה החלקת התמונה במידה הולכת וגדלה עם הזמן, וכך ניתן לסנן רעש מתמונה.

בתחום זה, מגדירים גם דיפוזיה לא לינארית, בה מקדם הדיפוזיה k(u,\vec{r}) אינו קבוע אלא תלוי בגרדיאנט התמונה. באופן זה ניתן לבצע סינון תלוי מקום ובכך לסנן רעש אך לשמר את השפות בתמונה, וזוהי תוצאה רצויה שכן השפות הינן פרטים חשובים בהבנת התמונות ויש לשמרן. עם זאת, במקרים אלו אין בדרך כלל רצון למצוא פתרון סגור למשוואה אלא רק לבצע מספר מועט של צעדים בזמן.