פונקציית דלתא של דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פונקציית הדלתא של דיראק. הגרף מציג ציור סכמתי שלה, כאשר את החץ יש להבין כקו בגובה אינסוף.
מתחת לאיור מרוכזות הזהויות החשובות והשימושיות של פונקציה זו.

פונקציית הדלתא של דיראק $\ \delta (x)$ היא התפלגות רציפה, שבאופן אינטואיטיבי ניתן לתארה כמקבלת את הערך אינסוף בנקודה מסוימת (x=0) ובכל השאר הנקודות כמקבלת את הערך אפס, כך שהשטח מתחת לעקומה (כלומר: האינטגרל שלה על כל הישר הממשי) שווה לאחד (1). במובן מסוים, זוהי הכללה של הדלתא של קרונקר. למרות שקוראים לה "פונקציית דלתא", מבחינה פורמלית היא איננה פונקציה אמיתית, אך אפשר לממשה באמצעים אחרים.

פונקציית הדלתא הומצאה על ידי הפיזיקאי פול דיראק והיא נמצאת בעיקר בשימוש פיזיקאים ומהנדסים ופחות בשימוש המתמטיקאים.

תוכן עניינים

1 מבוא פורמלי
- 1.1 ההגדרה השימושית
- 1.2 מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא
2 תכונות
3 הגדרת פונקציית הדלתא כגבול של סדרת פונקציות
4 שימושים
5 ראו גם

[עריכה] מבוא פורמלי

[עריכה] ההגדרה השימושית

לרוב, פונקציית הדלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)$

לכל פונקציה רציפה f. כאמור, אפשר לחשוב על פונקציית הדלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת הערך אינסוף בנקודת האפס, כך שהאינטגרל על פני הישר הממשי על הפונקצייה הוא 1. פונקציה ממשית כזו לא יכולה להתקיים, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין אינטואיטיבית את התכונות של הפונקציה.

פונקציית הדלתא של דיראק כהתפלגות של פונקציות גאוסיניות $\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$ כאשר $a\to 0.$

באופן כללי יותר אפשר לרשום:

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x-x_0) \, dx = f(x_0)$

ניתן לראות את פונקציית הדלתא כצפיפות של התפלגות מצטברת שמקבלת 1 אחרי ערך מסוים ו-0 לפניו, כלומר:

$H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & x < 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}\right.$

להתפלגות מצטברת כזאת קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה) ובאופן אינטואיטיבי אפשר לומר שפונקציית הדלתא היא ה"נגזרת" שלה (כולל בנקודת אי-הרציפות),

$\ d H(x) = \delta (x) \ dx$

שכן עבור ערכים שונים מ 0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר: "שיפוע" אינסופי בנקודה. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית הדלתא, ובהתאם אחת הדרכים לממש אותה תהיה שימוש מתאים בגבול של הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

בפועל, אין פונקציה אמיתית שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר לקבל אובייקטים דומים וריגורוזיים באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או אינטגרל לבג עבור מידה מתאימה.

[עריכה] מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית הדלתא באופן הבא:

$\ \forall \ \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ : \ \delta[\phi] = \phi(0)\,$

זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות. פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרימום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב המכפלה הפנימית $\ L_2$ . יתרה מכך, הוא כלל לא מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריץ אפשר לרשום כל פונקציונל לינארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב $\ L_2$ כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.

אפשר גם להתייחס לפונקציית הדלתא כאל מידה באופן הבא:

$δ(A) = 1$ אם $0\in A$ .
$δ(A) = 0$ אחרת.

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, d\delta(\{ x \}) = f(0)$

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:

$\forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dH(x) = f(0)$

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.

[עריכה] תכונות

תכונת הנרמול: $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx} = 1$ .
סימטריות/זוגיות: $\ \delta(x) = \delta(-x)$
מתקיים ש $\ \delta(ax) = \frac{\delta (x)}{|a|}$

באופן כללי יותר:

$\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}$

בצורה אינטגרלית אפשר לרשום:

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}$

כאשר x_i הם השורשים של g, כלומר: $\ g(x_i)=0$ .

עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית הדלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש : $\delta'[\phi] = -\phi'(0)\,$ .
מכאן נובע ש : $\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x}$ .
כמו כן : $\delta^{(n)}[\phi] = (-1)^n \phi^{(n)}(0)\,$ .
בהתמרת פורייה מתקיים ש : $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}\,dx=\delta(k)$ .

[עריכה] הגדרת פונקציית הדלתא כגבול של סדרת פונקציות

את פונקציית הדלתא אפשר לממש גם כגבול של סדרת פונקציות, המתכנסות אל פונקציית הדלתא. באופן אינטואיטיבי, מדובר בסדרה של פונקציות ששואפות לצורת השפיץ: כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.

באופן פורמלי, סדרת פונקציות $\ \left\{ \delta_n (x) \right\}_{n=1}^{\infty}$ תקרא "סדרת דלתא" אם:

$\ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta_n (x) dx} = 1$ , דרישה זאת קובעת שלכל הפונקציות בסדרה יש משקל (שטח מתחת לעקומה) של 1.
לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ N_0$ מספיק גדול כך ש $\ \forall n > N_0 \ : \ \forall |x| \ge \varepsilon \ : \ \delta_n (x) = 0$ .

לדוגמה נסתכל בסדרה הבאה:

: $\delta_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & |x| > \frac{1}{2n} \\ n & : & |x| < \frac{1}{2n} \end{matrix}\right.$

למעשה, זוהי סדרה של מלבנים או פונקציות אינדקטור על הקטע $\ \left[-1/(2n) , +1/(2n) \right]$ מורמות לגובה n. נראה שזוהי סדרת דלתא:

משקל: כל מלבן הוא ברוחב $\ 1/n$ ובגובה n ולכן המשקל שלו שווה ל 1 לכל n.
קל גם לראות שסדרה זו מקיימת גם את הדרישה השנייה.

לכן זוהי סדרת דלתא שמתכנסת נקודתית לפונקציית הדלתא של דיראק. בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

[עריכה] שימושים

בפיזיקה, פונקציית הדלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של מטען חשמלי נקודתי או מסה נקודתית.
בהנדסת חשמל ועיבוד אותות, פונקציית הדלתא היא קירוב לתגובה "impulse" מיידית ונקודתית להפרעה.
במכניקת הקוונטים (בייחוד בסימון דיראק) משתמשים לעתים בפונקציות הדלתא כבסיס למרחב המקום או התנע (תלוי באיזה הצגה עובדים). הפונקציה הדואלית לפונקציית הדלתא היא גל טהור: $\ e^{ipx/\hbar}$ .
במתמטיקה, פונקציית הדלתא משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה.

[עריכה] ראו גם

פונקציית דלתא של דיראק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא פורמלי

[עריכה] ההגדרה השימושית

[עריכה] מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא

[עריכה] תכונות

[עריכה] הגדרת פונקציית הדלתא כגבול של סדרת פונקציות

[עריכה] שימושים

[עריכה] ראו גם

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות