משפט גאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שדה וקטורי שכיוונו החוצה מפני משטח שצורתו כדורית

באנליזה וקטורית, משפט גאוס או משפט הדיברגנץ מקשר בין השטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור לדיברגנץ של השדה בתוך המשטח. המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס שגילה אותו בשנת 1813, אך רק בשנת 1831 מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט, לכן לעתים קוראים לו משפט גאוס-אוסטרוגרדסקי. למשפט יש שימושים חשובים בפיזיקה ובפרט באלקטרוסטטיקה. המשפט הוא מקרה פרטי של משפט סטוקס.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ V תחום חלקי ל-\ \mathbb{R}^3 סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין, ויהי \ F שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת \ V, אזי מתקיים

\iiint_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

כאשר \ S = \partial V הוא שפת התחום \ V, ו-d\mathbf{S} הוא וקטור המייצג אלמנט שטח אינפיניטסימלי הניצב למשטח (לעתים מסמנים \hat n dS, כאשר \hat n הוא הנורמל הפונה החוצה של משטח השפה \ \partial V), וכאשר \nabla = \left( \frac{\partial }{\partial x_1} , \dots , \frac{\partial }{\partial x_n} \right) .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.