נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציית רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. לכן זוהי הכללה של נגזרת חלקית, שבה הכיוון הוא תמיד במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה

הנגזרת הכיוונית של פונקציה סקלרית $f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ לאורך וקטור $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)$ היא הפונקציה המוגדרת על ידי הגבול

$D_{\vec{v}}{f} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט $\ \nabla(f)$ של $\ f$ באמצעות

$D_{\vec{v}}{f} = \nabla(f) \cdot \vec{v}$

כאשר $\ \cdot$ מציין מכפלה סקלרית. בכל נקודה $\ p$, הנגזרת הכיוונית של $\ f$ מייצגת את קצב השינוי של $\ f$ לאורך $\ \vec{v}$ בנקודה $\ p$. בדרך כלל בוחרים כיוונים כך שיהיו מנורמלים, כלומר $\ \|\vec{v}\|=1$, למרות שההגדרה הנ"ל עובדת לכל וקטור.