דיברגנץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה וקטורית, הדיברגנץ (באנגלית: divergence) הוא אופרטור המופעל על שדה וקטורי. הדיברגנץ משייך לכל נקודה במרחב ערך מספרי המתאר את צפיפות המקורות של השדה הווקטורי שעליו הוא מופעל.

סימון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \vec F פונקציה וקטורית שהדיברגנץ שלה הוא הפונקציה הסקלרית \ f, מסמנים \ f = \operatorname{div} \vec{F} = \vec \nabla \cdot \vec F .

כאן \vec{\nabla} מסמל את אופרטור הגזירה (סמל המשולש עצמו נקרא "נבלה") המוגדר כווקטור של נגזרות חלקיות, כלומר:

 \vec{\nabla} \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y }
 + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \equiv \left( \ \partial_x \ , \ \partial_y \ , \ \partial_z \right)

אינטואיציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הדיברגנץ מאפשר לכמת את צפיפות המקורות של שדה. באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה, אם מחזיקים בתוך זורם שלד של קובייה (רק המקצועות, ללא הפאות), ומבקשים לדעת כמה מים נטו יוצאים או נכנסים לתוך הקובייה, מודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים בסימן חיובי ואילו מים שנכנסים לקובייה נספרים בסימן שלילי), אם בסך הכל יוצאים מים מהקובייה, ניתן לספור את השטף שנפלט ממנה, ואילו אם בסך הכל נכנסים מים לקובייה, ניתן לכמת את השטף שנבלע מתוכה (מנוקז דרכה).

כלומר, באמצעות מדידת השטף דרך שטח מסוים, יודעים כמה "ברזים" או "חורי ניקוז" יש בתוך הנפח הכלוא בתוכו. כדי לחשב את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז", מחלקים בנפח הקובייה. הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים" או "חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפיניטסימלית, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל-0, ומקבלים את הדיברגנץ.

תופעה זו, שכמות המקורות בנפח נתון שווה לשטף הכולל היוצא (או הנכנס) מדפנות אותו הנפח, היא עובדה בעלת חשיבות רבה באנליזה וקטורית, ונקראת משפט הדיברגנץ (או משפט גאוס).

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \vec F שדה וקטורי גזיר ברציפות, ויהי \ V תחום במרחב הכולל נקודה \ p אשר שפתו  \ \partial V.
הדיברגנץ של השדה \vec F בנקודה \ p הוא:

\nabla \cdot\vec F (p) = \lim_{V \to 0}\frac{\oint_{\partial V}\vec{F} \cdot d\vec a}{V}

במרחב אוקלידי תלת ממדי, המתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות, הדיברגנץ הינו:

\nabla \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial{F}_{x}}{\partial x} + \frac{\partial{F}_{y}}{\partial y} + \frac{\partial{F}_{z}}{\partial z}

כאשר \vec F = \{ {\ F}_{x}, {\ F}_{y}, {\ F}_{z}\} כלומר \{ {\ F}_{x}, {\ F}_{y}, {\ F}_{z}\} הם רכיביו הקרטזיים של \vec F .

הכללה למערכת קואורדינטות אורתוגונלית כלשהי:

\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[ \frac{\partial }{\partial q_{1}}\left( F_{1}h_{2}h_{3} \right)+\frac{\partial }{\partial q_{2}}\left( F_{2}h_{3}h_{1} \right)+\frac{\partial }{\partial q_{3}}\left( F_{3}h_{1}h_{2} \right) \right]

כאשר:

\ h_{i} הוא גודל הווקטור \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}

\ F_{i} הוא רכיב הווקטור בכיוון \ q_{i}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו \mathbf{F} ו-\mathbf{G} שדות וקטוריים כלשהם, ויהי \varphi שדה סקלרי כלשהו. מתקיימות התכונות הבאות:

\nabla \cdot (\alpha \mathbf{F} + \beta \mathbf{G}) = \alpha (\nabla \cdot \mathbf{F}) + \beta (\nabla \cdot \mathbf{G})
  • בכלל מכפלה אחד נעשה שימוש גם באופרטור גרדיאנט:
\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F})
או ברישום אחר:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F})
\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})
או ברישום אחר:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{curl}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{G})