חוק גאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
על פי חוק גאוס סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. כלומר: \Phi_E = \frac{Q}{\mathcal{E}_0}
מטען חיצוני למערכת לא משפיע על סך השטף שלה, משום שכל קו שדה שלו הנכנס אליה גם יוצא ממנה בסופו של דבר. לכן, אם נתייחס לקו שדה נכנס כחיובי וליוצא כשלילי אזי סכום קווי השדה של מטען חיצוני למעטפת שווה ל- 0.
מעטפת גאוס תלת ממדית סביב כדור

חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה, המבטא את הקשר בין שדות חשמליים והתפלגות מטענים חשמליים. חוק זה הוא אחת ממשוואות מקסוול, המהוות את התשתית לתורת החשמל והמגנטיות הקלאסית. חוק גאוס קובע כי: סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. החוק נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס בשנת 1825[דרוש מקור] , ופורסם ב-1867. חוק גאוס מופיע בצורה דיפרנציאלית, ובצורה אינטגרלית, המקושרות על ידי משפט גאוס.

לחוק גאוס דמיון מתמטי רב לחוקי פיזיקה שונים. ניתן לנסח חוקים שונים בצורה הדומה לחוק גאוס, בהקשרים של כבידה ומגנטיות, ולמעשה כל כוח ריבועי הפוך ניתן לניסוח בצורה דומה.

חוק גאוס בניסוח אינטגרלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

הניסוח המתמטי של החוק בצורתו האינטגרלית הוא:

{\Phi} = \oint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} 
= {1 \over \varepsilon_0} \int_\mathcal{V} \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}

כאשר \Phi הוא השטף החשמלי, \mathbf{E} הוא השדה החשמלי, \mathrm{d}\mathbf{A} הוא אלמנט שטח אינפיניטסימלי על המשטח הסגור \ \mathcal{S}, אשר כיוונו מוגדר כניצב למשטח, כלפי חוץ, \ Q_\mathrm{A} הוא המטען הכלוא בתוך המשטח, \rho\, הוא צפיפות המטען החשמלי בנקודה V , \varepsilon_0 הוא קבוע דיאלקטריות הריק ו- \oint_S הוא אינטגרל על המשטח \ \mathcal{S} התוחם נפח \ \mathcal{V}.

יש לשים לב כי הווקטור \mathrm{d}\mathbf{A} מכוון במאונך למעטפת, והשדה החשמלי מוכפל סקלרית בווקטור זה; ככל שקווי השדה מאונכים יותר למעטפת, כך השטף החשמלי גדול יותר, באופן התואם את האופי האינטואיטיבי של מושג השטף.

ביחידות cgs מנוסח החוק כך:

{\Phi} = \oint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} 
= 4\pi \int_\mathcal{V} \rho\ \mathrm{d}V = 4\pi k Q_A

חוק גאוס בניסוח דיפרנציאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוחו של חוק גאוס בריק בצורתו הדיפרנציאלית הוא:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}

כאשר \mathbf{\nabla} הוא אופרטור הדיברגנץ ו-\rho צפיפות מטען נפחית. החוק מקשר בין דיברגנץ השדה החשמלי בנקודה במרחב לבין צפיפות המטען באותה הנקודה. בחומר, מקדם הדיאלקטריות שונה מ-\ \epsilon_0.

ביחידות cgs חוק גאוס הדיפרנציאלי נראה כך:

\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho

חוק גאוס עבור שדה מגנטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף לחוק גאוס עבור השדה החשמלי, קיים גם חוק גאוס עבור השדה המגנטי. בניסוח האינטגרלי החוק נכתב כך:  \oint \mathbf B \cdot d\mathbf S = 0 .

פירוש נוסחה זו הוא כי סך השטף המגנטי דרך כל מעטפת סגורה שווה ל-0. גם כאן ניתן להשתמש במשפט גאוס על מנת לעבור לצורה הדיפרנציאלית של החוק:  \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 .

המשמעות של חוק זה היא שאין לשדה המגנטי מקורות - כלומר קווי השדה אינם יוצאים או נכנסים לנקודה כלשהי במרחב, אלא יוצרים לולאות סגורות. תכונה זאת קשורה לכך שלפי כל התצפיות שנעשו עד כה, לא קיימים בטבע מונופולים מגנטיים - לצד כל קוטב מגנטי צפוני קיים קוטב דרומי (ולהפך), והם אינם ניתנים להפרדה.

שני החוקים מהווים חלק ממשוואות מקסוול.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]