חוק גאוס

חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה, המבטא את הקשר בין שדות חשמליים והתפלגות מטענים חשמליים. חוק זה הוא אחת ממשוואות מקסוול, המהוות את התשתית לתורת החשמל והמגנטיות הקלאסית.
חוק גאוס קובע כי: סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. החוק נוסח על ידי קרל פרידריך גאוס בשנת 1825^{[דרוש מקור]}, ופורסם ב-1867. חוק גאוס מופיע בצורה דיפרנציאלית, ובצורה אינטגרלית, המקושרות על ידי משפט גאוס.

לחוק גאוס דמיון מתמטי רב לחוקי פיזיקה שונים. ניתן לנסח חוקים שונים בצורה הדומה לחוק גאוס, בהקשרים של כבידה ומגנטיות, ולמעשה כל כוח ריבועי הפוך ניתן לניסוח בצורה דומה.

חוק גאוס בניסוח אינטגרלי

הניסוח המתמטי של החוק בצורתו האינטגרלית הוא:

${\Phi} = \oint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = {1 \over \varepsilon_0} \int_\mathcal{V} \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}$

כאשר $\Phi$ הוא השטף החשמלי, $\mathbf{E}$ הוא השדה החשמלי, $\mathrm{d}\mathbf{A}$ הוא אלמנט שטח אינפיניטסימלי על המשטח הסגור $\ \mathcal{S}$, אשר כיוונו מוגדר כניצב למשטח, כלפי חוץ, $\ Q_\mathrm{A}$ הוא המטען הכלוא בתוך המשטח, $\rho\,$ הוא צפיפות המטען החשמלי בנקודה $V$ , $\varepsilon_0$ הוא קבוע דיאלקטריות הריק ו- $\oint_S$ הוא אינטגרל על המשטח $\ \mathcal{S}$ התוחם נפח $\ \mathcal{V}$.

יש לשים לב כי הווקטור $\mathrm{d}\mathbf{A}$ מכוון במאונך למעטפת, והשדה החשמלי מוכפל סקלרית בווקטור זה; ככל שקווי השדה מאונכים יותר למעטפת, כך השטף החשמלי גדול יותר, באופן התואם את האופי האינטואיטיבי של מושג השטף.

ביחידות cgs מנוסח החוק כך:

${\Phi} = \oint_\mathcal{S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 4\pi \int_\mathcal{V} \rho\ \mathrm{d}V = 4\pi Q_A$

חוק גאוס בניסוח דיפרנציאלי

ניסוחו של חוק גאוס בריק בצורתו הדיפרנציאלית הוא:

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}$

כאשר $\mathbf{\nabla}$ הוא אופרטור הדיברגנץ ו-$\rho$ צפיפות מטען נפחית. החוק מקשר בין דיברגנץ השדה החשמלי בנקודה במרחב לבין צפיפות המטען באותה הנקודה. בחומר, מקדם הדיאלקטריות שונה מ-$\ \epsilon_0$.

ביחידות cgs חוק גאוס הדיפרנציאלי נראה כך:

$\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho$

חוק גאוס עבור שדה מגנטי

בנוסף לחוק גאוס עבור השדה החשמלי, קיים גם חוק גאוס עבור השדה המגנטי. בניסוח האינטגרלי החוק נכתב כך: $\oint \mathbf B \cdot d\mathbf S = 0$ .

פירוש נוסחה זו הוא כי סך השטף המגנטי דרך כל מעטפת סגורה שווה ל-0. גם כאן ניתן להשתמש במשפט גאוס על מנת לעבור לצורה הדיפרנציאלית של החוק: $\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0$ .

המשמעות של חוק זה היא שאין לשדה המגנטי מקורות - כלומר קווי השדה אינם יוצאים או נכנסים לנקודה כלשהי במרחב, אלא יוצרים לולאות סגורות. תכונה זאת קשורה לכך שלפי כל התצפיות שנעשו עד כה, לא קיימים בטבע מונופולים מגנטיים - לצד כל קוטב מגנטי צפוני קיים קוטב דרומי (ולהפך), והם אינם ניתנים להפרדה.

שני החוקים מהווים חלק ממשוואות מקסוול.

קישורים חיצוניים

• מצגת המסבירה את העקרונות עליהם מבוסס חוק גאוס