התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות בינומית
מאפיינים
פרמטרים p - ההסתברות ל"הצלחה",

n - מספר ההטלות

תומך \ k\in \{0,1,2...,n\}
פונקציית הסתברות

(pmf)

{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
תוחלת \ np
חציון \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
ערך שכיח \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
שוֹנוּת \ np(1-p)
אנטרופיה  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

(1-p + pe^t)^n \!
צידוד \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
גבנוניות \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!

משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים. ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי יחיד מסומנת כ-p, וההסתברות ל"כישלון" היא ההסתברות המשלימה (p-‏1). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית בסימון X\sim \textrm{B}\left(n, p\right) , וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים (k=0,1,\ldots,n) היא:


P\left(X=k\right) 
= 
{n \choose k}
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}

כאשר "המקדם הבינומי" \ \binom{n}{k} הוא מספר האפשרויות ל-k הצלחות ב-n ניסויים.

כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש \ n! (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים.

לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש \ k! אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש \ (n-k)! אפשרויות סידור).

מכאן \ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!, ולכן:

\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא \ np ואילו השונות שלו היא \ np(1-p).

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר \ \lambda = np.

הוכחת ההתפלגות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה אחת של k הצלחות במקומות מסוימים היא \ p^k(1-p)^{n-k},

שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות \ p) ולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, \ 1-p).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא \ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}, כאשר \ t הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור את k המקומות שבהם יהיו הצלחות מתוך כלל n המקומות. ניתן להוכיח בקומבינטוריקה כי המספר \ t הוא בדיוק המקדם הבינומי \ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}.

התפלגות בינומית שלילית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם: P_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\Gamma(r)}P^r(1-P)^k

כאשר \Gamma היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

התפלגויות דומות בהקשר בינומי[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום של מ"מ בינומיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם X\sim Bin(n,p) וכן Y\sim Bin(m,p) הינם שני משתנים מקריים בלתי תלוים , בעלי הסתברות זהה p אז X+Y\sim Bin(n+m,p) , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות זו הינה מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר X\sim Bin(1,p) ונהוג לסמן X\sim Ber(p). למעשה ניתן לראות בכול התפגלות בינומית כסכום של n התפלגויות ברנולי כול אחת מהן עם אותה הסתברות p.

התפלגות פואסון[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לראות את ההתפלגות הבינומית כמקרה מיוחד של התפלגות פואסונית . אם נסתכל על התפלגות זו בתור סכום של משתני ברנולי שלכול אחת מהן התפלגות שונה X\sim Ber(p_i) , במידה וכולן שוות נקבל התפלגות בינומית .

קירוב נורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במידה ו n גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול , במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית ע"י ההתפלגות הנורמלית X\sim N(np,np(1-p)).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]