התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות בינומית
מאפיינים
פרמטרים p - ההסתברות ל"הצלחה",

n - מספר ההטלות

תומך \ k\in \{0,1,2...,n\}
פונקציית הסתברות

(pmf)

{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
תוחלת \ np
חציון \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
ערך שכיח \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
שוֹנוּת \ np(1-p)
אנטרופיה  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

(1-p + pe^t)^n \!
צידוד \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
גבנוניות \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!

משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר ההסתברות לקבלת הצלחה היא p (אלה נקראים "ניסויי ברנולי"). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימון X\sim \textrm{B}\left(n, p\right) , וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר n הניסויים (k=0,1,\ldots,n) היא: 
P\left(X=k\right) 
= 
{n \choose k}
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}
, כאשר "המקדם הבינומי" \ \binom{n}{k} הוא מספר הדרכים לבחור את k ההצלחות מ- n הניסויים. כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש \ n! (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים. לאותה מסקנה אפשר להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כשלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש \ k! דרכים לעשות זאת), ואת הכשלונות (\ (n-k)! דרכים). מכאן ש- \ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!, ולכן \ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא \ np ואילו השונות שלו היא \ np(1-p).

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר \ \lambda = np.

[עריכה] הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שיש בה k הצלחות במקומות מסוימים היא \ p^k(1-p)^{n-k}, שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות \ p) וב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות \ 1-p).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא \ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}, כאשר \ t הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחות. בקומבינטוריקה מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק \ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}.

[עריכה] התפלגות בינומית שלילית

עמוד ראשיPostscript-viewer-shaded.png
ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם: P_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\Gamma(r)}P^r(1-P)^k

כאשר \Gamma היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

מיזמי קרן ויקימדיה


כלים אישיים

גרסאות שפה
מרחבי שם
פעולות
ניווט
קהילה
תיבת כלים
דף זה בשפות אחרות
הדפסה/יצוא