התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות בינומית
מאפיינים
פרמטרים p - ההסתברות ל"הצלחה",

n - מספר ההטלות

תומך \ k\in \{0,1,2...,n\}
פונקציית צפיפות ההסתברות

(pdf)

{n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
תוחלת \ np
חציון \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
ערך שכיח \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
שוֹ‏נוּ‏ת \ np(1-p)
אנטרופיה  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

(1-p + pe^t)^n \!
צידוד \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
גבנוניות \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!

משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים שלהם תוצאת כן/לא ("הצלחה"/"כשלון") כאשר ההסתברות לקבלת הצלחה היא p (אלה נקראים "ניסויי ברנולי"). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימון X\sim \textrm{B}\left(n, p\right) , וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר n הניסויים (k=0,1,\ldots,n) היא: 
P\left(X=k\right) 
= 
{n \choose k}
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}
, כאשר "המקדם הבינומי" \ \binom{n}{k} הוא מספר הדרכים לבחור את k ההצלחות מ- n הניסויים. כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש \ n! (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים. לאותה מסקנה אפשר להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כשלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש \ k! דרכים לעשות זאת), ואת הכשלונות (\ (n-k)! דרכים). מכאן ש- \ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!, ולכן \ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא \ np ואילו השונות שלו היא \ np(1-p).

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר \ \lambda = np.

[עריכה] הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שיש בה k הצלחות במקומות מסוימים היא \ p^k(1-p)^{n-k}, שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות \ p) וב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות \ 1-p).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא \ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}, כאשר \ t הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחות. בקומבינטוריקה מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק \ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}.

[עריכה] התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם: P_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\Gamma(r)}P^r(1-P)^k

כאשר Γ היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.


התפלגויות

אחידה - נורמלית (גאוסית) - בינומית - מעריכית - פואסון - גאומטרית - היפרגאומטרית- ברנולי - מקסוול-בולצמן - בוז-איינשטיין - פרמי-דיראק

כלים אישיים