התפלגות בינומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

התפלגות בינומית
מאפיינים
פרמטרים	p - ההסתברות ל"הצלחה", n - מספר ההטלות
תומך	$\ k\in \{0,1,2...,n\}$
פונקציית צפיפות ההסתברות (pdf)	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
תוחלת	$\ np$
חציון	$\{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}$
ערך שכיח	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
שוֹ‏נוּ‏ת	$\ np(1-p)$
אנטרופיה	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$(1-p + pe^t)^n \!$
צידוד	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
גבנוניות	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$

משתנה מקרי בדיד המפולג בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים שלהם תוצאת כן/לא ("הצלחה"/"כשלון") כאשר ההסתברות לקבלת הצלחה היא p (אלה נקראים "ניסויי ברנולי"). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימון $X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)$ , וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר n הניסויים ( $k=0,1,\ldots,n$ ) היא: $P\left(X=k\right) = {n \choose k} p^k \left(1-p\right)^{n-k}$ , כאשר "המקדם הבינומי" $\ \binom{n}{k}$ הוא מספר הדרכים לבחור את k ההצלחות מ- n הניסויים. כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש $\ n!$ (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים. לאותה מסקנה אפשר להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כשלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש $\ k!$ דרכים לעשות זאת), ואת הכשלונות ( $\ (n-k)!$ דרכים). מכאן ש- $\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!$ , ולכן $\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$ .

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא $\ np$ ואילו השונות שלו היא $\ np(1-p)$ .

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר $\ \lambda = np$ .

[עריכה] הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שיש בה k הצלחות במקומות מסוימים היא $\ p^k(1-p)^{n-k}$ , שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות $\ p$ ) וב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות $\ 1-p$ ).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא $\ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}$ , כאשר $\ t$ הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחות. בקומבינטוריקה מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק $\ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .