נורמה של אופרטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, נורמה של אופרטור בין מרחבים נורמיים היא מספר המודד באיזו מידה עשוי האופרטור להגדיל את ארכו של וקטור שהוא פועל עליו. אופרטור שיש לו נורמה סופית הוא חסום. הנורמה של אופרטורים הופכת את מרחב האופרטורים ממרחב בנך אל עצמו, למרחב בנך שהוא אלגברת סי-כוכב.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו B,C מרחבים נורמיים. הנורמה של אופרטור לינארי \ T : B \rightarrow C, המסומנת \|T\| (ולעתים גם \| T \|_{\mathrm{op}}), היא הסופרמום של הנורמות \ \|T(x)\|_C כאשר \ x \in B הוא וקטור יחידה. לחלופין, זהו הסופרימום של כל המנות \ \frac{\|T(x)\|_C}{\|x\|_B} כאשר המכנה אינו אפס. מן ההגדרה נובע שלכל x מתקיים \ \|T(x)\| \leq \|T\|\|x\|.

לפעמים - למשל כאשר B מרחב בנך מממד סופי, או כאשר האופרטור ניתן ללכסון - מובטח שהסופרימום מתקבל, ואז הנורמה שווה לערך העצמי הגדול ביותר (מבחינת הנורמה המרוכבת) של האופרטור.

הנורמה מקיימת את הכללים הבאים:

  1. \ \|T\|\geq 0, עם שוויון רק כאשר T=0;
  2. \ \|\alpha T\| = |\alpha|\|T\|;
  3. \ \|T+S\| \leq \|T\|+\|S\|;
  4. \ \|TS\| \leq \|T\|\|S\|.

אם B,C מרחבי מכפלה פנימית, אז \ \|T^*\|=\|T\| כאשר \ T^* הוא האופרטור הצמוד ל-T. בכל מקרה מתקיים \ \|T\|^2 = \|TT^*\|. נוסחה זו שימושית במיוחד משום שהאופרטור \ TT^* שבאגף ימין הוא הרמיטי, ולכן כל הערכים העצמיים שלו ממשיים (חיוביים), והנורמה שווה לגדול ביניהם.