מרחב בנך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מרחב בנך (Banach space) הוא מרחב לינארי נורמי שהוא שלם במטריקה המושרית מן הנורמה. מרחב בנך הוא אחד המרחבים הנפוצים שנחקרים במסגרת האנליזה פונקציונלית.

מרחב בנך נקרא על שם סטפן בנך, מתמטיקאי פולני שהיה מבין מייסדי התחום וממנסחי משפטיו היסודיים.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדור היחידה \ \{x: ||x||<1\} במרחב נורמי הוא תמיד קמור, פתוח וסימטרי לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההיפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול לאי-שוויון המשולש שהנורמה צריכה לקיים.

משפט האן-בנך מאפשר להרחיב פונקציונלים מתת-מרחב אל המרחב כולו, וכך מאפשר לבנות פונקציונלים רציפים רבים.

משפט בנך-שטיינהאוס (הנקרא גם עקרון החסימות במידה שווה) טוען שאם למשפחה של אופרטורים לינאריים רציפים על מרחב בנך יש חסם משותף בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.

לפי משפט ההעתקה הפתוחה (או בניסוח שקול משפט הגרף הסגור), כל אופרטור לינארי חסום ממרחב בנך אחד על מרחב בנך אחר, הוא פתוח.

לפי משפט מזור-אולם, המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הלינארי שלו: אם  \ f:X\to Y היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז  \ f היא לינארית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבי סדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אוסף הסדרות של מספרים ממשיים  \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} שמקיימות  \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|<\infty  הוא מרחב בנך עם הנורמה  \| (a_n)\|_1 =\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n| . מרחב זה מסומן ב  \ \ell _1 .
  • כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם  \ 1\leq p < \infty , מגדירים את המרחב  \ \ell _p להיות אוסף הסדרות  \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} שמקיימות  \ \sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p < \infty . מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה  \| (a_n)\|_p=\left(\sum _{n=1} ^{\infty} |a_n|^p\right)^{1/p}  . אם  \ p =\infty מגדירים את המרחב  \ \ell _{\infty} להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה  \ \| (a_n)\|_\infty =\sup |a_n| וזהו מרחב נורמי. אם  \ p<1 , המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו מרחב פרשה) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה.

מרחבי פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם  \ (X,\mu ) הוא מרחב מידה מגדירים את  \ L_p (X,\mu ) להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות  \ f:X\to \mathbb{C} המקיימות  \ \int _{X} |f(x)|^{p} d\mu (x) < \infty תחת יחס השקילות של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה

 \ \| f\|_p=\left(\int _X |f(x)|^p d\mu (x)\right)^{1/p}

טיפוסים של מרחבי בנך[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבי הילברט הם דוגמה קיצונית של מרחבי בנך, ותכונות שונות של מרחבי בנך מודדות עד כמה הם קרובים להיות מרחבי הילברט.

מרחב הפונקציונלים הלינארים על מרחב בנך  \ X גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה  \ \| \varphi \| = \sup _{x\in X,\| x\| =1} \varphi (x) מרחב זה מסומן לרוב ב  \ X^* . לדוגמה, אם  \ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 וגם  \ p<\infty אז  \ell _p ^* =\ell _q . לעומת זאת,  \ell _{\infty} ^* \neq \ell _1 . מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים \, X^{**} = X . לעומת זאת,יש שיכון טבעי \,X \hookrightarrow X^{**} . מרחב בנך שעבורו השיכון \,X \hookrightarrow X^{**} הוא איזומורפיזם נקרא מרחב רפלקסיבי. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי.

מרחב בנך שלכל תת-מרחב ספרבילי שלו, A, גם \ A^* הוא ספרבילי, נקרא מרחב Asplund; כל מרחב רפלקסיבי הוא Asplund.

מרחב בנך שאינו מכיל עותק איזומורפי של \ \ell_1 נקרא מרחב Rosenthal. כל מרחב Asplund הוא Rosenthal.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]