איבר הופכי

באלגברה, איבר הופכי הוא הכללה של המושג "מספר הופכי". איבר הופכי לאיבר נתון הוא איבר שהכפלתו באיבר הנתון, או הכפלת האיבר הנתון בו נותנת את איבר היחידה.

הגדרה פורמלית

תהי $\ S$ קבוצה שמוגדרת עליה פעולה בינארית שנסמנה $\ *$. אם $\ e$ הוא איבר היחידה של $\ (S,*)$ ומתקיים $\ a*b=e$, אז $\ a$ הוא הופכי משמאל של $\ b$, ו-$\ b$ הוא הופכי מימין של $\ a$. אם איבר $\ x$ הוא הופכי מימין והופכי משמאל של איבר $\ y$, אז $\ x$ קרוי הופכי דו-צדדי או בפשטות הופכי של $\ y$. איבר שיש לו הופכי דו-צדדי ב-$\ S$ קרוי איבר הפיך ב-$\ S$. איבר שיש לו הופכי רק מצד אחד קרוי הפיך משמאל או הפיך מימין, בהתאמה.

אם הפעולה $\ *$ היא אסוציאטיבית, אזי אם לאיבר נתון יש הופכי מימין והופכי משמאל, הרי הופכיים אלה זהים, והם ההופכי היחיד של האיבר הנתון. במקרה זה, הקבוצה של האיברים ההפיכים היא חבורה, המסומנת $\ U(S)$ או $\ S^*$.

דוגמאות

• לכל מספר ממשי $\ x$ יש הופכי ביחס לפעולת החיבור, והוא המספר הנגדי שלו: $\ -x$
• לכל מספר ממשי שונה מאפס $\ x$ יש הופכי ביחס לפעולת הכפל, והוא $\frac 1{x}$. למספר 0 אין הופכי.
• מטריצה ריבועית $\ M$ שאיבריה נלקחים משדה $\ K$ היא הפיכה (בקבוצת כל המטריצות הריבועיות מאותו גודל, תחת פעולת כפל מטריצות) אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. המטריצה ההופכית מתקבלת מנוסחת קרמר.
• לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל יש פונקציה הופכית ביחס לפעולת ההרכבה.
• מדולו מספר ראשוני, לכל מספר יש הופכי כפלי מודולרי.
• לכל איבר בחבורה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.
• גם בחוג כללי, לכל איבר, פרט לאיבר היחידה ביחס לחיבור, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי, נקרא חוג עם חילוק. אם בנוסף הוא קומוטטיבי הוא נקרא שדה. קבוצת האיברים ההפיכים ביחס לכפל בחוג היא חבורה כפלית הנקראת "חבורת ההפיכים" של החוג.
• ההופכי של איבר היחידה הוא הוא עצמו.

הופכי שמאלי וימני בחוגים

בחוג R שאינו קומוטטיבי, ייתכן שאיבר a יהיה הפיך משמאל אך לא מימין. אם a הפיך משמאל אז a הפיך מימין אם ורק אם a אינו מחלק אפס מימין. חוג R שבו מתקיים ab=1 אם ורק אם ba=1 נקרא חוג סופי-דדקינד. על פי משפט של אירוינג קפלנסקי כל חוג סופי הוא חוג סופי-דדקינד.