איבר הופכי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, איבר הופכי הוא הכללה של המושג "מספר הופכי". איבר הופכי לאיבר נתון הוא איבר שהכפלתו באיבר הנתון, או הכפלת האיבר הנתון בו נותנת את איבר היחידה.

המושג "איבר הופכי" מוגדר גם עבור פעלות בינאריות שאינן כפל. איבר הופכי ביחס לפעולת חיבור נקרא איבר נגדי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ S קבוצה שמוגדרת עליה פעולה בינארית שנסמנה \ *. אם \ e הוא איבר היחידה של  \ (S,*) ומתקיים \ a*b=e, אז \ a הוא הופכי משמאל של \ b, ו-\ b הוא הופכי מימין של \ a. אם איבר \ x הוא הופכי מימין והופכי משמאל של איבר \ y, אז \ x קרוי הופכי דו-צדדי או בפשטות הופכי של \ y. איבר שיש לו הופכי דו-צדדי ב-\ S קרוי איבר הפיך ב-\ S. איבר שיש לו הופכי רק מצד אחד קרוי הפיך משמאל או הפיך מימין, בהתאמה.

אם הפעולה \ * היא אסוציאטיבית, אזי אם לאיבר נתון יש הופכי מימין והופכי משמאל, הרי הופכיים אלה זהים, והם ההופכי היחיד של האיבר הנתון. במקרה זה, הקבוצה של האיברים ההפיכים היא חבורה, המסומנת  \ U(S) או \ S^*.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הופכי שמאלי וימני בחוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחוג R שאינו קומוטטיבי, ייתכן שאיבר a יהיה הפיך משמאל אך לא מימין. אם a הפיך משמאל אז a הפיך מימין אם ורק אם a אינו מחלק אפס מימין. חוג R שבו מתקיים ab=1 אם ורק אם ba=1 נקרא חוג סופי-דדקינד. על פי משפט של אירוינג קפלנסקי כל חוג סופי הוא חוג סופי-דדקינד.