מספר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ערך זה עוסק במושג מתמטי. אם התכוונתם לפירושים נוספים של המילה, ראו מספר (פירושונים).

מספר הוא מושג מופשט, שבמשמעותו המקובלת משמש לציון כמות.

תוכן עניינים

[עריכה] ייצוג של מספרים

עמוד ראשי
ערך מורחב – שיטות ספירה

מספרים נהוג להציג באמצעות ספרות לפי בסיס מחזורי, כאשר הבסיס המקובל לספירה ביומיום הוא הבסיס העשרוני המורכב מהספרות 0-9 (אם כי ה-0 הוא תוספת מאוחרת יותר). במחשבים מקובלות שיטות ספירה אחרות, שבהן הבסיסים הם: 2 - בסיס בינארי, 8 - בסיס אוקטלי ו-16 - בסיס הקסדצימלי.

שיטות קדומות יותר להצגת מספרים הן, בין השאר, ספרות עבריות וספרות רומיות. המספר 613 בבסיס עשרוני נכתב תרי"ג בספרות עבריות ו-DCXIII בספרות רומיות. צורות ההצגה השונות אינן משנות את מהותו של המספר, אך הן משפיעות על האופן שבו מתבצעות הפעולות האריתמטיות.

על שמות של מספרים ראו בערך שמות מספרים.

[עריכה] התפתחות מושג המספר

המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי במשמעותו דהיום, וגודל - אורך של קטע - שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי. ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל קטע אפשר להכפיל בשלם כדי לקבל שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי. המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת שורש 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.

בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי. המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב- 1591 סיכם פרנסואה ויאטה בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז). עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד. גם דקרט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח כמובן מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי.

החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים. אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל אבחנה. עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של ויאטה לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר, מספר מרוכב.

[עריכה] סוגים של מספרים

במתמטיקה מקובלת הבחנה בין סוגים אחדים של מספרים, הבחנה המשקפת את התפתחותו ההיסטורית של המושג מספר:

  • מספרים טבעיים: אוסף המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . יש הכוללים בתחילת המספרים הטבעיים את המספר 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות \mathbb {N}.
  • מספרים שלמים: הקבוצה המכילה בנוסף למספרים הטבעיים גם את אוסף המספרים השליליים 1-, 2-, 3-, ... ואת 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות \mathbb {Z}.
  • מספרים רציונליים: כל המספרים שניתן לבטא אותם כמנה של שני מספרים שלמים, כאשר המכנה שונה מ-0. נהוג לסמן קבוצה זו באות \mathbb {Q}. בקבוצה זו נכללים המספרים השלמים, וכן השברים, לדוגמה \frac{1}{2} ,\frac{7}{5}.
  • מספרים אי-רציונליים: מספרים שאי אפשר להציגם כמנה של שני מספרים שלמים. המספר \sqrt{2} הוא מספר אי-רציונלי.
  • מספרים ממשיים: קבוצה שבה נכללים כל המספרים שמנינו עד כה. נהוג לסמן קבוצה זו באות \mathbb {R}.
  • מספרים מרוכבים: מספרים מהצורה \,a+bi , כאשר \,a, b הם מספרים ממשיים, ו-\,i^2=-1. נהוג לסמן קבוצה זו באות \mathbb {C}. מספרים מהצורה \,bi קרויים מספרים מדומים.

את המספרים המרוכבים ניתן לחלק לשתי קבוצות:

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

  • שבתאי אונגורו, "מבוא לתולדות המתמטיקה", חלק ב', פרק א': "הרחבת מושג המספר".

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: מספר
ויקישיתוף תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מספרים
מספרים
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 60 70 80 90 100 200 300 400
500   1,000   2,000    10,000    600,000    1,000,000
אחרים
שמות מספרים | ...0.999 | 666 | 1089 | 1729 | 142857 | גוגול (10100)

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8
כלים אישיים