אופטיקה לא ליניארית

אופטיקה לא ליניארית (באנגלית: Nonlinear Optics) היא תחום באופטיקה, אלקטרואופטיקה ופוטוניקה המתאר את השינוי שגורם אור (שדה אלקטרומגנטי) לתגובה של החומר לאור העובר דרכו. כאשר עוצמת האור העובר בחומר נמוכה יחסית, תגובת החומר למעבר האור מתכונתית לעוצמת האור (כלומר, לחזקה הראשונה של עוצמת האור); זהו התחום הליניארי. לעומת זאת, כאשר עוצמת האור גבוהה יחסית (בשדה חשמלי של מעל 10⁸ V/m), כמו בלייזר), תגובת החומר (בפרט, פולריזציה החשמלית (צפיפות הקיטוב)) כוללת גם מרכיבים המתכונתיים לחזקות גבוהות יותר של עוצמת האור, למשל לריבוע עוצמת האור; וזהו התחום הלא-ליניארי. באופטיקה לא-ליניארית, עקרון הסופרפוזיציה של גלי אור לא תקף יותר.

תחום האופטיקה הלא-ליניארית צמח עם פיתוח הלייזרים, כאשר היה אפשר להחדיר לחומרים מתאימים אלומות לייזר פולסיות בהספקים רגעיים גבוהים. האפקטים הלא ליניאריים באים לידי ביטוי למשל בהכפלת תדר של לייזרים, בעיוותים לא רצויים לסיגנל אופטי בתקשורת סיבים אופטית, בשינוי מקדם השבירה כתלות בעוצמת האור (אפקט קר (Kerr)), בחימום, ביצירת תנודות גביש או סיבובי מולקולות וכו'. תחום האופטיקה הלא-ליניארית הוא חלק מתחום רחב יותר העוסק ביחסי הגומלין בין חומר ובין אור או קרינה אלקטרומגנטית העוברים בחומר.

מבוא

כאשר שדה אלקטרומגנטי נע בחומר, בניגוד לריק, הוא מבצע אינטראקציה עם המטענים בחומר. בפרט, האטומים והמולקולות בחומר הם נייטרליים, אך כאשר הם מרגישים את השדה החשמלי של האור, המטען השלילי בהם נמשך לצד אחד והמטען החיובי לצד שני, דבר שיוצר דיפולים חשמליים בחומר. הקשר בין חוזק וכוון הדיפול בחומר באזור מסוים נתון על ידי וקטור הפולריזציה (צפיפות הקיטוב) ${\vec {P}}$ שהוא פונקציה של וקטור השדה ${\vec {E}}$.

באופטיקה ליניארית, השדה החשמלי חלש ובקירוב טוב שדה הקיטוב תלוי בשדה החשמלי באופן ליניארי (כלומר ביחס ישר):

${\mathbf {P} ^{L}}=\varepsilon _{0}\chi ^{(1)}{\mathbf {E} }$

כאשר השדה החשמלי חזק יותר, הקירוב הליניארי אינו תקף וצריך להוסיף לו את האיברים הבאים בטור טיילור של ${\vec {P}}({\vec {E}})$. תחת ההנחה הפשטנית שהתגובה היא סקלרית, הביטוי הכללי הוא:

$P(t)=P^{L}+P^{NL},\quad P^{NL}{\propto \chi ^{(2)}E^{2}(t)+\chi ^{(3)}E^{3}(t)+\cdots }$.

כאשר דיפול חשמלי משנה את כיוונו (ו\או את גודלו) בצורה מחזורית בזמן, הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית בתדירות שבה הוא מתנודד. באופטיקה ליניארית, הדיפולים (המתוארים על ידי הפולריזציה) מתנהגים ביחס ישר לשדה החשמלי של האור, ולכן תדר התנודה (ולכן, גם תדר הקרינה הנפלטת) זהה לתדר האור הפוגע. לעומת זאת, באופטיקה לא ליניארית, האיברים הבאים בפיתוח (שגם הם משפיעים על התנודדות הדיפולים בחומר), גורמים לדיפולים להתנודד בתדרים נוספים על אלו של האור הפוגע. תופעה זו היא הבסיס לכל התופעות באופטיקה לא ליניארית - השדה החשמלי עצמו משפיע בצורה לא ליניארית על הקרינה מהדיפולים.

בצורה יותר מתמטית, בעוד שבאופטיקה ליניארית המשוואה שמתארת את התקדמות השדה החשמלי בתדר מסוים $\omega$ היא משוואת הגלים (הליניארית):

$\nabla ^{2}E+{\frac {\omega ^{2}n^{2}}{c^{2}}}E=0$,

באופטיקה לא ליניארית מקבלים משוואת גלים שהפולריזציה הלא ליניארית $P^{NL}$ מתפקדת בה כמקור ליצירת גלים:

$\nabla ^{2}E+{\frac {\omega ^{2}n^{2}}{c^{2}}}E=-{\frac {\omega ^{2}}{\varepsilon _{0}c^{2}}}P^{NL}$.

הפולריזציה הלא ליניארית יכולה לקבל צורות רבות, בהתאם לתכונות החומר. ישנן מספר דרכים לסווג את סוגי האינטראקציות הלא-ליניאריות המיוצגות על ידי $P^{NL}$. הסיווג הנפוץ ביותר הוא לפי סדר האינטראקציה, כלומר החזקה של השדה החשמלי בה תלויה הפולריזציה הלא ליניארית. בפרט, אינטראקציות מסדר שני הן החזקות באופן יחסי מבין שאר האינטראקציות. אינטראקציות מסוג זה הן קוהרנטיות (כלומר רגישות לפאזה של האור, ראה פרק תיאום פאזה למטה), והן מובילות לתופעות של המרות תדר; הן אפשריות רק בחומרים מוצקים שלתא היחידה שלהם אין סימטרית היפוך. הסדר הבא של האינטראקציות נחלק בין אינטראקציות קוהרנטיות (ששוב, מובילות להמרות תדר), לבין אינטראקציות לא-קוהרנטיות (כגון, אפקט קר (Kerr), ראה למטה); אינטראקציות מסוג זה קיימות בכל החומרים (כלומר בפרט, בגזים, נוזלים וכל המוצקים).

ערבוב שלושה תדרים

ערבוב שלושה תדרים הוא האינטראקציה הלא-ליניארית הקוהרנטית מסדר שני (כלומר, בחומר עם אי ליניאריות מסוג $\chi ^{(2)}$) הנפוצה ביותר. בתהליך לא ליניארי זה, שדות בתדרים מסוימים יוצרים פולריזציה לא ליניארית בתדרים אחרים - דבר שגורם ליצירת שדות בתדרים אלו. בפרט, כאשר נכנס לתווך כזה שדה בתדר מהצורה $E=E_{0}\cos \omega t$, הפולריזציה הנוצרת היא: $P^{NL}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E_{0}^{2}\cos ^{2}\omega t=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}{\frac {E_{0}^{2}}{2}}(\cos(2\omega t)+1)$, כלומר קיים רכיב לפולריזציה הלא ליניארית בתדר $2\omega$, ולכן החומר יקרון בתדר הכפול.

בתהליכי ערבוב שלושה תדרים, חומר עם אי ליניאריות מסוג $\chi ^{(2)}$ מאפשר מעבר אנרגיה בין שלושה תדרים: שני תדרים נמוכים $\omega _{1},\omega _{2}$ וסכומם $\omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}$. באופן כללי, השינוי בעוצמה בשלושת התדרים האלו, $I_{1},I_{2},I_{3}$ מקיים את יחסי מנלי-רו (Manley-Rowe):

${\frac {d}{dz}}\left({\frac {I_{1}}{\omega _{1}}}\right)={\frac {d}{dz}}\left({\frac {I_{2}}{\omega _{2}}}\right)=-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {I_{3}}{\omega _{3}}}\right)$

כאשר ציר z הוא הציר בו מתקדם האור לאורך הגביש. ניתן להתייחס ליחסים אלו כשימור אנרגיה של הפוטונים: העוצמה מתארת את כמות האנרגיה ליחידת זמן, ולכן היא פרופורציונלית למספר הפוטונים שמגיעים ליחידת זמן כפול האנרגיה של פוטון אחד $I\propto N\cdot \hbar \omega$ ולכן ${\frac {I}{\omega }}\propto N$. לכן, יחסי מנלי רו בעצם אומרים ש- ${\frac {d}{dz}}N_{1}={\frac {d}{dz}}N_{2}=-{\frac {d}{dz}}N_{3}$ (כאן, N מייצג את מספר הפוטונים מסוג 1\2\3) - זה הגיוני משום שכאשר נוצר פוטון עם אנרגיה $\hbar \omega _{3}=\hbar (\omega _{1}+\omega _{2})$ הוא תמיד יבוא על חשבון פוטון אחד בשני התדרים הנמוכים. לעומת זאת כשפוטון בתדר הגבוה "מתפרק", הוא יצור פוטון אחד בכל אחד מהתדרים הנמוכים.

משום שערבוב של שלושה תדרים נובע מאינטראקציות $\chi ^{(2)}$, כל האפקטים הנגזרים ממנו יכולים להעשות רק בחומרים שנעדרים סימטרית היפוך מרחבית - שהרי פולריזציה ריבועית בשדה גוררת שעבור שדה חיובי ושלילי נקבל פולריזציה לא ליניארית באותו כיוון, דבר שמערב שבירת סימטריה.

להלן כמה תהליכים ידועים שנעשים באמצעות ערבוב שלושה תדרים:

יצירת סכום התדרים - (SFG) Sum Frequency Generation

שדות בתדרים $\omega _{1},\omega _{2}$ יכולים ליצור אור בתדר של סכום התדרים. כאשר אחד התדרים הנמוכים חזק משמעותית, האנרגיה בחומר תעבור בין התדר הנמוך השני לבין התדר הגבוה בצורה מחזורית.

יצירת הפרש התדרים - (DFG) Difference Frequency Generation

שדות בתדרים $\omega _{3},\omega _{2}$ יכולים ליצור אור בתדר $\omega _{1}=\omega _{3}-\omega _{2}$. אם מתקיים שעוצמת התדר הגבוה גדול משמעותית מעוצמת התדר הנמוך, כלומר, $I(\omega _{3})>>I(\omega _{2})$, בנוסף להיווצרות עוצמה ב$\omega _{1}$, העוצמה ב- $\omega _{2}$ עולה אקספוננציאלית - כלומר תהליך זה יכול לשמש גם כמגבר לתדרים קיימים ולא רק ליצירת חדשים. היתרון במגבר זה הוא שאין צורך במולקולות עם פס בליעה בתדר הרלוונטי בשביל פליטה מאולצת. מגברים מסוג זה נקראים Optical Parametric Amplifier.

יצירת הרמוניה שנייה - Second Harmonic Generation

תיאור סכמטי

כפי שכבר צוין, SHG היא מקרה פרטי של SFG, בו שני התדרים $\omega _{1},\omega _{2}$ שווים זה לזה, כלומר - כאשר תדר יחיד עובר בחומר הוא יכול לעשות אינטראקציה לא ליניארית עם עצמו וליצור את התדר הכפול לו. לתהליך זה קיימים שימושים רבים, כמו המרת אורך הגל של לייזר Nd:YAG מתחום האינפרה האדום (1064nm), שלא נראה לעין האנושית, לאורך גל קצר פי 2 (ולכן תדר כפול) - 532nm, אורך הגל של רוב הלייזרים הירוקים החזקים.

תהליך SHG

תיאום פאזה

תיאור אינטואיטיבי

הפולריזציה הלא ליניארית בתדר מסוים משמשת כמקור לצמיחה של האמפליטודה באותו תדר. כאשר הפולריזציה והאמפליטודה באותה פאזה, משמעות הדבר היא שהאמפליטודה תגדל מונוטונית, אבל מכיוון שבכל חומר יש נפיצה (דיספרסיה), האמפליטודה והפולריזציה הלא ליניארית צוברים פאזה שונה תוך כדי ההתקדמות בחומר, ולכן יש שלבים שבהם בפאזה שלהם הפוכה - הפולריזציה מוסיפה "שינוי שלילי" לאמפליטודה ולכן מקטינה אותה. כך, תהליך שמתחיל מצמיחה של האמפליטודה יתחלף בדעיכה אחרי מרחק התפשטות מספק. לדוגמה, עבור תהליך SFG, כאשר יש תיאום פאזה מלא (כלומר השדה בתדר $\omega _{3}$ והפולריזציה הלא ליניארית בתדר זה לא צוברים פאזה יחסית ביניהם), האמפליטודה בתדר זה גדלה ליניארית וככל שהגביש יותר ארוך כך יעילות היצור של הגל בתדר $\omega _{3}$ תגדל. אבל, כאשר אין תיאום פאזה, באיזשהו שלב הפולריזציה הלא ליניארית תתחיל לגרום לדעיכה של האמפליטודה עד שזו תגיע חזרה לאפס ואז התהליך חוזר על עצמו. כלומר, במקרה של חוסר תיאום פאזה, יש חסם עליון ליעילות ההמרה לתדר הגבוה - ללא תלות באורך הגביש.

תיאור מתמטי

ניקח לדוגמה את תהליך ה- SFG. כאמור, כאשר נכנסים 2 שדות אופטיים לחומר: $E=A_{1}e^{i(k_{1}z-\omega _{1}t)}+A_{2}e^{i(k_{2}z-\omega _{2}t)}+c.c.$, הפולריזציה הלא ליניארית בתדר $\omega _{3}$ יכולה להיווצר מהאיבר המעורב:

$P^{NL}(\omega _{3})=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}2E(\omega _{1})E(\omega _{2})=2\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}A_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z}$.

אזי, לפי משוואת הגלים הלא ליניארית, ניתן להגיע ל-

${\frac {dA_{3}}{dz}}e^{ik_{3}z}={\frac {i\omega _{3}^{2}}{2k_{3}\varepsilon _{0}c^{2}}}P^{NL}(\omega _{3})={\frac {i\omega _{3}^{2}\chi ^{(2)}}{k_{3}c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z}$, ולכן ל-

${\frac {dA_{3}}{dz}}={\frac {i\omega _{3}^{2}\chi ^{(2)}}{k_{3}c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2}-k_{3})z}$.

אם $\Delta k=k_{1}+k_{2}-k_{3}=0$, האקספוננט הוא 1 ופתרון המשוואה נותן לנו יעילות מקסימלית בהעברת האנרגיה ל- $A_{3}$. אחרת, במרחק שבו מתקיים $\Delta kz=\pi$, הפולריזציה מתחילה לתת תרומה שלילית לאמפליטודה ולהוביל לדעיכתה, לכן, יעילות המרת האנרגיה לתדר הגבוה חסומה. ככל שחוסר תיאום הפאזה יותר מובהק ($\Delta k$ רחוק יותר מאפס) כך התהליך מתהפך לאחר מרחק קצר יותר, והמרת האנרגיה פחות יעילה.

התנאי $k_{1}+k_{2}=k_{3}$ אולי נראה טריוויאלי, אך ההפך הוא הנכון. אמנם, בגלל מקדם השבירה השונה בין תדר לתדר, כלומר בגלל קשר הדיספרסיה, $k={\frac {\omega n(\omega )}{c}}$, תנאי תיאום פאזה הוא $n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2}=n_{3}\omega _{3}$ או במילים אחרות, $n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2}=n_{3}(\omega _{1}+\omega _{2})$. ברוב המקרים הדיספרסיה היא נורמלית, כלומר מקדם השבירה עולה עם התדר ולכן $n_{3}>n_{2},n_{1}$ ומכאן שקשר זה ברוב החומרים הוא בלתי אפשרי, משום שאגף ימין בוודאות גדול מאגף שמאל.

פתרונות

קיימים שני פתרונות עיקריים להתגברות על בעיית חוסר תיאום הפאזה (phase mismatch) - שימוש בחומרים אנאיזוטרופיים ו"קוואזי תיאום פאזה" (Quasi Phase Matching).

בתהליך הראשון, משתמשים בחומרים בהם מקדם השבירה תלוי קיטוב. במקרה זה, ניתן להשתמש בשני שדות בתדרים נמוכים המכוונים כך שהם יצביעו בכיוון שבו מקדם השבירה גבוה, והשדה בתדר הגבוה במכוון לציר בו מקדם השבירה נמוך יותר. כך, למרות הדיספרסיה הנורמלית, ניתן להגיע לתיאום פאזה מלא.

בתהליך השני, בונים את הגביש כך שכל פעם ש- $\Delta kz$ מגיע לכפולה שלמה של $\pi$ הופכים את כיוון הגביש, וכך מקבלים $\chi ^{(2)}$ שלילי כאשר האקספוננט שלילי (מה שמשאיר את אגף ימין חיובי) ו-$\chi ^{(2)}$ חיובי כאשר האקספוננט חיובי. היתרון בתהליך זה הוא שכבר אין חסם עליון לאנרגיה המקסימלית שאפשר להוציא בתדר הגבוה, אך היעילות עדיין נמוכה מהמצב של תיאום פאזה אמיתי.

שני פתרונות אלו מתאימים לשלשת תדרים מסוימת, ולכן, לרוב לא ייווצר תהליך DFG בין שני התדרים הנמוכים או SFG בין התדר הגבוה ואחד התדרים האחרים, משום שאלו ייצרו תדרים שונים משלושת התדרים שאליהם תוכנן הגביש להגיע לתיאום פאזה.

אפקט קר (Kerr)

אפקט קר הוא דוגמה לאפקט לא ליניארי אופטי מסדר שלישי שאינו קוהרנטי. כאשר עוצמת האור גבוהה מספיק, ניתן לראות תלות ליניארית בין מקדם השבירה לעוצמת האור: $n(I)=n_{0}+n_{2}I$ כאשר $n_{0}$ הוא מקדם השבירה של החומר בעוצמות נמוכות. הערכים האופייניים ל- $n_{2}$ הם לרוב בסדרי הגודל של $10^{-14}\sim 10^{-16}\left[{\frac {cm^{2}}{W}}\right]$ (חוץ מבנסיבות תרמיות או בליעה ברוויה), ולכן תופעה חזקה יותר בפולסים, בהם ההספק הרגעי מגיע לערכים גבוהים.

אפקט קר הוא אפקט שנובע מפולריזציה לא ליניארית המתכונתית ל-$\chi ^{(3)}$, ולכן מתרחש בכל החומרים ולא רק בחומרים שוברי סימטריה (בדומה ל-$\chi ^{(2)}$). בצורה יותר כללית, אפקט זה יכול לגרום לקרן אור חזקה לשנות את מקדם השבירה שהיא עצמה חווה (Self Phase Modulation - SPM) או לשנות את מקדם השבירה שמרגישה קרן אור אחרת שעוברת בתווך (Cross Phase Modulation - XPM).

מיקוד עצמי

שדה חשמלי $E(x,y)e^{ikz}$ העובר דרך עדשה שהציר אופטי שלה מקביל לציר $z$ צובר פאזה באופן הבא: $E(x,y)e^{ikz}\cdot e^{-i{\frac {k}{2f}}(x^{2}+y^{2})}$ - כלומר פאזה ריבועית ביחס למרחק מהציר האופטי. כאשר אור מתקדם מרחק $d$ בתווך עם מקדם שבירה n, הוא צובר פאזה של $e^{iknd}$. ניתן להראות שאם עובי העדשה קטן ריבועית עם המרחק מהציר האופטי (בשל צורתן הכדורית של העדשות), קרני האור מתכופפות לכיוון נקודת מוקד.

ניתן לחקות אפקט מיקוד זה על ידי קרן שעוצמתה גבוהה יותר במרכז מאשר בצדדים, כך שאפקט קר גורם לכך שמרכז הקרן יראה מקדם שבירה גבוה מאשר הצדדים. כתוצאה מכך, האור חווה אפקט של עדשה ומתמקד כתוצאה מאפקט קר שהוא עצמו יוצר.

ראו גם

• פיזור ראמאן
• פיזור ברילואן

לקריאה נוספת

• Robert W. Boyd, Nonlinear optics, Second edition, Academic press, (2003) או מהדורות מאוחרות יותר של הספר.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אופטיקה לא ליניארית בוויקישיתוף

• אופטיקה לא ליניארית, דף שער בספרייה הלאומית