בינום

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באלגברה אלמנטרית, בינוֹם (בעברית: דו־איבר) הוא פולינום המורכב משני איברים או מונומים.

הגדרה

בינום הוא פולינום שהוא סכום של שני מונומים. בינום במשתנה יחיד נכתב בצורה

$ax^{m}-bx^{n}$

כאשר a ו־b הם מספרים, ו־m ו־n הם מספרים שלמים לא־שליליים ו־x הוא סמל שנקרא משתנה. בהקשר של פולינום לורן , בינום לורן, המכונה לעיתים קרובות בפשטות בינום, מוגדר באופן דומה, אך המעריכים m ו־n עשויים להיות שליליים.

באופן כללי יותר בינום הוא מהצורה

$a\,x_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-b\,x_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}$

דוגמאות

$3x-2x^{2}$

$xy+yx^{2}$

$0.9x^{3}+\pi y^{2}$

$2x^{3}+7$

פעולות בבינומים פשוטים

• בינום מהצורה x² − y² ניתן לפירוק לגורמים כמכפלה של שני בינומים:

$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$.

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הכללית יותר:

$x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}y^{n-k}$.

במספרים מרוכבים הנוסחה ניתנת להרחבה ל־

$x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy)$.

• המכפלה של שני בינומים ליניאריים (ax + b) ו־(cx + d ) היא טרינום:

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$.

תחילתו של משולש פסקל

• בינום בחזקה ה־n־ית, המיוצג כ־(x + y)ⁿ ניתן להרחבה באמצעות משפט הבינום או לחלופין באמצעות משולש פסקל. דוגמה: הריבוע (x + y)² של הבינום (x + y) מקיים:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$.

המספרים (1, 2, 1) המופיעים כמקדמים בנוסחה זו הם המקדמים הבינומיים בשורה השנייה שמתחת לקודקוד במשולש פסקל. הפיתוח של החזקה ה־n־ית משתמש במספרים בשורה ה־n שמתחת לקודקוד במשולש פסקל.

• מימוש של הנוסחה דלעיל בה לידי ביטוי בנוסחה ליצירת שלשות פיתגוריות:

עבור m < n, יהי a = n² − m², b = 2mn, ו־c = n² + m²; ומתקיים a² + b² = c².

• בינומים שהם סכום של חזקות שלישיות ניתנים לפירוק לפולינומים ממעלה נמוכה יותר כדלקמן:

$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

ראו גם

• השלמה לריבוע
• הבינום של ניוטון
• התפלגות בינומית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בינום בוויקישיתוף

• בינום, באתר MathWorld (באנגלית)