הלמה של נקאימה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג R.

לפי הלמה, לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, M, כאשר אם הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של R. הטענה חשובה במיוחד כאשר R חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר M נוצר סופית, לכל תת-מודול ; כלומר, המכפלה קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- M על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-M כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי אלומה קוהרנטית. אז הנבט בx, המסומן ב, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה U של x כך ש.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית מעל חוג ולכל אידיאל ב-, אם אז קיים שעבורו . כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד כך שלכל מתקיים .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי M הוא R-מודול נוצר סופית השונה מ-0. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-M נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול מקסימלי (כלומר, אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של M). מכך נובע כי הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי m בR כך ש-. אבל , ולכן . מכאן ש- .

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.